자연 변환

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범주론에서, 자연 변환(自然變換, natural transformation)은 두 함자 사이에 범주적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 사상으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D가 (공변) 함자라고 하자. 그렇다면 FG 사이의 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 모든 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 사상 \eta_X\colon F(X)\to G(X)

이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 사상 f\colon X\to Y (X,Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C))에 대하여,

\eta_YF(f)=G(f)\eta_X.

즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

Natural transformation.svg

마찬가지로, 반변함자 F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D^{\operatorname{op}} 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

자연동형사상(自然同形寫像, natural isomorphism)은 모든 \eta_X동형사상을 이루는 자연 변환 \eta이다. 두 함자 사이에 자연동형사상이 존재하는 경우, 두 함자가 자연동형(naturally isomorphic)이라고 한다.

예제[편집]

군론에서, G의 반대군(opposite group) G^{\operatorname{op}}은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 \mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}를 이룬다. (여기서 \mathrm{Grp}는 군과 군 준동형사상의 범주다.) 이 함자는 항등함자 \mathrm{Grp}\to\mathrm{Grp}와 자연동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 벡터공간 V는 그 쌍대공간 V^*과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자\mathrm{FinVect}\to\mathrm{FinVect}는 항등함자와 자연동형이지 않다. 이는 쌍대공간을 정의하기 위해서는 기저를 골라야 하는데, 임의의 벡터공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 내적공간의 범주의 경우, 쌍대공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대함자는 항등함자와 자기동형이다.

역사[편집]

사무엘 에일렌베르크손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다.[1][2] 이 논문은 범주론의 시초로 여겨진다. 매클레인은 훗날 다음과 같이 적었다.

내가 범주를 발명한 이유는 함자를 다루기 위해서가 아니라 자연 변환을 다루기 위해서이다. (I didn't invent categories to study functors; I invented them to study natural transformations.)
 

참고 문헌[편집]

  1. Eilenberg, Samuel, Saunders Mac Lane (1945년 9월). General theory of natural equivalences. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284.
  2. Marquis, Jean-Pierre (2010년 2월 25일). 〈Category theory〉, 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》. Metaphysics Research Lab, Stanford University
  3. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》, Graduate Texts in Mathematics 5, 2판, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8