사상 (수학)

수학에서 사상(寫像, morphism)은 수학적 구조를 보존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다. 예를 들어 집합론에서의 사상은 임의의 함수이며, 군론의 사상은 군 준동형사상, 위상수학의 사상은 연속함수이다.

범주론은 대상과 사상으로 이루어진 범주를 연구하는 분야이다. 명확한 범주에서 대상은 집합 위에 특정한 구조가 주어진 것이고 사상은 그 구조를 보존하는 함수이나, 일반적인 범주에서 대상은 꼭 집합일 필요가 없고 사상은 단순히 대상들 사이의 '화살표'일 뿐이다.

사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상(morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다.

정의

범주 $C$는 '대상'의 모임 $\mathrm{ob}(C)$와 '사상'의 모임 $\hom(C)$로 이루어져 있다. 각 사상은 '정의역'과 '공역'을 갖는데, 이들은 둘 다 $C$의 대상이다. 사상 $f$의 정의역이 $X$이고 공역이 $Y$일 때 이를 $f :\, X \to Y$로 나타낸다. $X$에서 $Y$로의 모든 사상의 모임을 $\hom_C(X,Y)$ 혹은 간단히 $\hom(X,Y)$로 나타내고, 이를 $X$와 $Y$ 사이의 사상모임이라 하며, 이것이 집합인 경우에는 사상집합이라 한다. (이를 $\mathrm{Mor}_C(X,Y)$ 혹은 $\mathrm{Mor}(X,Y)$ 등으로 나타내는 저자도 있다.)

임의의 세 대상 $X,Y,Z$에 대해, $\hom(X,Y) \times \hom(Y,Z)$에서 $\hom(X,Z)$로의 이항연산이 주어지며, 이것을 사상의 합성이라 부른다. 사상 $f :\, X \to Y$와 $g :\, Y \to Z$의 합성은 $g\circ f$ 혹은 $gf$로 쓴다. (일부 저자는 $fg$로 쓰기도 한다.) 많은 경우 사상의 합성을 아래와 같은 가환그림으로 나타낸다.

사상들은 다음의 두 공리를 만족해야 한다.

• (결합법칙) $f : X \to Y,\, g : Y \to Z,\, h : Z \to U$이면 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.
• (항등사상) 임의의 대상 $X$에 대해 유일한 사상 $1_X:\, X \to X$이 존재하여, 임의의 사상 $f:\, A \to B$에 대해 $1_B \circ f = f = f \circ 1_A$이다. 여기에서 $1_X$를 '$X$의 항등사상'이라고 한다.

C가 명확한 범주일 때, 합성은 보통의 함수의 합성과 일치하며, 항등사상은 단순한 항등함수이다. 함수의 합성은 결합법칙을 만족하므로 위의 결합법칙 조건도 자명하게 성립한다.

사상의 종류

단사사상

$f :\, X \to Y$가 사상이라 하자. 임의의 사상 $g_1, g_2 :\, Z \to X$에 대해 $f\circ g_1=f\circ g_2$가 $g_1 = g_2$를 함의하면 $f$를 단사사상이라 한다. 또한, $g\circ f={\rm id}_X$를 만족하는 사상 $g :\, Y \to X$가 존재하면 이를 $f$의 좌 역사상(left-inverse)이라 한다. 좌 역사상을 갖는 사상은 전부 단사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 단사사상이 좌 역사상을 가지면 이를 분해 단사사상(split monomorphism)이라 한다. 명확한 범주에서 좌 역함수를 갖는 함수는 단사함수와 일치하므로 모든 단사함수는 단사사상이다. 정리하자면, 단사함수 조건은 단사사상 조건보다는 강하지만 분해 단사사상 조건보다는 약하다.

전사사상

쌍대 개념으로, 임의의 사상 $g_1, g_2 :\, Y \to Z$에 대해 $g_1\circ f=g_2\circ f$가 $g_1 = g_2$를 함의하면 $f$를 전사사상이라 한다. 또한, $f\circ g={\rm id}_Y$를 만족하는 사상 $g :\, Y \to Z$가 존재하면 이를 f의 우 역사상(right-inverse)이라 한다. 우 역사상을 갖는 사상은 전부 전사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 전사사상이 우 역사상을 가지면 이를 분해 전사사상(split epimorphism)이라 한다. 명확한 범주에서 우 역함수를 갖는 함수는 전사함수와 일치하며, 이 조건은 전사사상 조건보다는 강하지만 분해 전사사상 조건보다는 약하다. 집합의 범주에서 모든 전사함수가 우 역함수를 가진다는 것은 선택공리와 동치이다.

• 참고: 분해 단사사상 $f$가 좌 역사상 $g$를 가지면, $g$는 $f$를 우 역사상으로 갖는 분해 전사사상이다.

함께 보기

• 영 사상
• 정규사상
• 복소해석함수
• 준동형사상