내적공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
내적의 기하학적 해석

선형대수학에서, 내적공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간이다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다. (주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.

정의[편집]

(이 글에서 스칼라들의 F실수체 R 혹은 복소수체 C이다.) 체 F 상의 벡터공간 V에 정부호 비퇴화 정반선형 형식 <·,·>이 주어지면 이 공간을 내적공간이라 하고, <·,·>를 내적이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 대칭 겹선형형식이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다.

내적이란 함수

 \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}

로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다.

\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.
이 조건에 따라  \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} 가 성립하는데, 이는 \langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle} 이기 때문이다.
\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.
\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.
이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다.
\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.
\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.
따라서  \langle \cdot , \cdot \rangle 는 정반선형 형식이 된다.
  • 음이 아님:
\langle x,x\rangle \ge 0.
(이는 V의 임의의 원소 x에 대해  \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} 이기에 의미를 갖는다.)
  • 비퇴화성:
\langle x,x \rangle = 0이면 x=0.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]