기저 (선형대수학)

선형대수학에서, 어떤 벡터 공간의 기저(基底, basis)란, 그 벡터 공간의 원소로 이루어진 집합으로서, 다음과 같은 성질을 만족시키는 것을 뜻한다.

• 집합이 선형 독립이다. 즉, 집합 내의 어떤 원소도 다른 원소들의 선형 결합으로 표시될 수 없다.
• 집합이 전체 벡터 공간을 생성한다. 이는, 이 집합에 속한 원소들의 선형 결합으로 벡터 공간 내의 임의의 원소(이를 벡터라 한다.)를 표현할 수 있다.

정의

임의의 체 $F$ 위의 벡터공간 $V$를 생성하는 $V$의 서로 선형 독립인 부분집합 $B$를 $V$의 기저라고 한다. 만약 $B=\left\{v_{1},\cdots,v_{n}\right\}$이 임의의 체 $F$(실수체 $R$이나 복소수체 $C$ 등) 위의 벡터공간 $V$의 유한한 부분집합이라고 가정할 경우, $B$가 $V$의 기저가 되기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다.

• 선형 독립 : 모든 $a_{1},\cdots,a_{n}\in F$에 대하여, 만약 $a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}=0$일 경우 반드시 $a_{1}=\cdots=a_{n}=0$이어야 한다.
• 생성 : 벡터공간 $V$ 내의 임의의 벡터 $X$에 대해, $X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}$를 만족시키는 $a_{1},\cdots,a_{n}\in F$가 반드시 존재하여야 한다.

특징

조합의 단일성(uniqueness)

기저의 선형조합을 통해 임의의 벡터 $X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}$를 생성하는 것이 가능하다면, 이 때 이 식을 만족하는 집합 $a=\left\{a_{1},\cdots,a_{n}\right\}\in F$는 오직 하나만 존재한다.

증명

만약 $X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}$이고 또한 $X=b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}$이라고 하자. 이 경우$(a_{1}-b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})v_{n}$은 영벡터이다. 각 벡터 $v_{n}$은 서로 선형 독립이므로, 모든 $i$에 대해 $a_{i}-b_{i}=0$이 성립한다. 따라서 $a=b$이다. $\Box$

가역행렬과 기저

임의의 $n$차 가역행렬 $A$를 구성하는 열벡터의 집합 $v=v_{1},\cdots,v_{n}$은 실벡터공간 $\mathbb{R}^{n}$의 기저이다. 따라서 $\mathbb{R}^{n}$은 표준기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다.

비가역행렬의 열공간, 행공간과 기저

임의의 $n$차 비가역행렬 $B$의 추축열(pivot column)인 열벡터들의 집합 $v_{c}=v_{c,1},\cdots,v_{c,n}$은 $B$의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 $B$의 추축행(pivot row)인 행벡터들의 집합 $v_{r}=v_{r,1},\cdots,v_{r,n}$은 $B$의 행공간을 생성하는 기저이다.

표준기저(標準基底, standard basis)

$n$차 단위행렬 $I_{n}$을 구성하는 열벡터의 집합 $v=v_{1},\cdots,v_{n}$을 실벡터공간 $\mathbb{R}^{n}$의 표준기저라고 한다.