기저 (선형대수학)

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선형대수학에서, 어떤 벡터 공간기저(基底, basis)란, 그 벡터 공간의 원소로 이루어진 집합으로서, 다음과 같은 성질을 만족시키는 것을 뜻한다.

  • 집합이 선형 독립이다. 즉, 집합 내의 어떤 원소도 다른 원소들의 선형 결합으로 표시될 수 없다.
  • 집합이 전체 벡터 공간을 생성한다. 이는, 이 집합에 속한 원소들의 선형 결합으로 벡터 공간 내의 임의의 원소(이를 벡터라 한다.)를 표현할 수 있다.

정의[편집]

임의의 체 F 위의 벡터공간 V생성하는 V의 서로 선형 독립인 부분집합 BV기저라고 한다. 만약 B=\left\{v_{1},\cdots,v_{n}\right\}이 임의의 체 F(실수체 R이나 복소수체 C 등) 위의 벡터공간 V의 유한한 부분집합이라고 가정할 경우, BV의 기저가 되기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다.

  • 선형 독립 : 모든 a_{1},\cdots,a_{n}\in F에 대하여, 만약 a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}=0일 경우 반드시 a_{1}=\cdots=a_{n}=0이어야 한다.
  • 생성 : 벡터공간 V 내의 임의의 벡터 X에 대해, X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}를 만족시키는 a_{1},\cdots,a_{n}\in F가 반드시 존재하여야 한다.

특징[편집]

조합의 단일성(uniqueness)[편집]

기저의 선형조합을 통해 임의의 벡터 X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}를 생성하는 것이 가능하다면, 이 때 이 식을 만족하는 집합 a=\left\{a_{1},\cdots,a_{n}\right\}\in F는 오직 하나만 존재한다.

증명[편집]

만약 X=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}이고 또한 X=b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}이라고 하자. 이 경우(a_{1}-b_{1})v_{1}+\cdots+(a_{n}-b_{n})v_{n}영벡터이다. 각 벡터 v_{n}은 서로 선형 독립이므로, 모든 i에 대해 a_{i}-b_{i}=0이 성립한다. 따라서 a=b이다. \Box

가역행렬과 기저[편집]

임의의 n가역행렬 A를 구성하는 열벡터의 집합 v=v_{1},\cdots,v_{n}은 실벡터공간 \mathbb{R}^{n}의 기저이다. 따라서 \mathbb{R}은 표준기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다.

비가역행렬의 열공간, 행공간과 기저[편집]

임의의 n비가역행렬 B의 추축열(pivot column)인 열벡터들의 집합 v_{c}=v_{c,1},\cdots,v_{c,n}B의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 B의 추축행(pivot row)인 행벡터들의 집합 v_{r}=v_{r,1},\cdots,v_{r,n}B의 행공간을 생성하는 기저이다.

표준기저[편집]

n차 단위행렬 I_{n}을 구성하는 열벡터의 집합 v=v_{1},\cdots,v_{n}을 실벡터공간 \mathbb{R}^{n}표준기저(標準基底, standard basis)라고 한다.

바깥 고리[편집]