군 (수학)

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수학에서 (群)이란 어떠한 이항연산자에 의해 아래의 정의를 만족하는 집합이다.

[편집] 정의

연산 \times 가 정의된 공집합이 아닌 집합 G에 대해 다음 조건을 만족하면, G를 군이라고 한다.

1. 연산자에 대해 닫혀 있다. 즉, 임의의 이항연산 a\times{}b이 집합 G에 속한다. a\times{}b\in{}G

2. 연산 \times에 대해 결합법칙이 성립한다. (a\times{}b)\times{}c=a\times{}(b\times{}c)

3. 집합 G 내에 항등원 e가 존재한다. a\times{}e=e\times{}a=a, e \in{} G

4. 어떤 원소 a에 대하여 역원 a − 1가 존재한다. a\times{}a^{-1}=a^{-1}\times{}a=e

단, {}^\forall{}a,{}^\forall{}b,{}^\forall{}c \in{}G.

[편집] 군의 차수(次數, order)

보통 | G | 또는 O(G)로 나타내지는 군 G의 차수(order)는 집합 G의 농도(cardinality)로 정의된다. 만일 G유한집합이라면, G의 차수(order)는 단순히 G의 원소의 개수와 같다.

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