군 (수학)

루빅스 큐브를 돌리는 방법들을 모은 집합은 군을 이룬다.

수학에서 군(群)은 어떤 집합과 이항연산이 가질 수 있는 특정한 대수적 구조로, 그 이항연산이 닫혀 있고, 항등원, 역원이 존재하고, 결합법칙을 만족하는 구조이다.

군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. 정수나 실수 내에서의 덧셈 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 회전하거나 대칭시키는 등의 동작 또한 군이 된다.

정의

집합 $G$와 이항연산 $\times$가 있을 때,

1. $\times$가 닫혀 있고: 임의의 $a, b \in G$에 대해 $a \times b \in G$
2. $\times$에 대해 결합법칙이 성립하고: 임의의 $a, b, c \in G$에 대해 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
3. 항등원이 존재하고: 임의의 $a \in G$에 대해 $a \times e = e \times a = a$인 $e \in G$가 유일하게 존재
4. 임의의 원소에 대해서 역원이 존재할 때: 임의의 $a \in G$에 대해 $a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e$인 $a^{-1} \in G$가 유일하게 존재

$(G, \times)$를 군이라고 정의한다.

군의 예

정수의 덧셈

정수 집합에서의 덧셈 연산은 군을 이룬다.

1. 두 정수의 덧셈은 정수이므로, 덧셈 연산은 닫혀 있다.
2. 정수의 덧셈 연산은 결합법칙을 만족한다.
3. 항등원 0이 존재한다.
4. 임의의 정수 x에 대해, -x는 x의 역원이 된다.

루빅스 큐브

루빅스 큐브를 돌리는 조작을 모은 집합이 있을 때, 두 조작을 연달아 실행하는 것을 이항연산자로 생각할 수 있다. 이 경우 이 조작들의 집합은 군을 이룬다.

1. 두 조작을 연달아 실행하는 것은 역시 조작이 되기 때문에, 이 연산은 닫혀 있다.
2. 이 연산은 결합법칙을 만족한다.
3. 큐브를 아무것도 돌리지 않는 조작이 항등원이 된다.
4. 조작을 반대로 실행하는 것이 역원이 된다.

대칭군

정이면체군이라 불리는 사각형으로부터의 대칭군이 D₄이라고 하면 다음 대칭이 생긴다:

id (원본)	r1 (90° 반사)	r2 (180° 반사)	r3 (270° 반사)
fv (수직 플립)	fh (수평 플립)	fd (사각형 플립)	fc (정사각형 플립)
사각형 대칭군 (D4)의 원소. 꼭지점은 움직임을 표현하기 위해 색칠 및 숫자를 기입하였다.

• 일치 운동은 id에서 바뀌지 않음을 표현해준다;
• 90° 각도, 180° 각도, and 270° 각도만큼의 사각형 회전은 각각 r₁, r₂ and r₃를 표현한다;
• 수직과 수평의 중선에 대한 반사 (f_h, f_v) 또는 두 사각형이 겹친 것 (f_d , f_c).

군의 차수(次數, order)

보통 $|G|$ 또는 $O(G)$로 나타내지는 군 $G$의 차수(order)는 집합 G의 농도(cardinality)로 정의된다. 만일 $G$가 유한집합이라면, $G$의 차수(order)는 단순히 $G$의 원소의 개수와 같다.

같이 보기

• 체 (수학)
• 환 (수학)