군 (수학)

수학에서 군(群)이란 어떠한 이항연산자에 의해 아래의 정의를 만족하는 집합이다.

[편집] 정의

연산 $\times$ 가 정의된 공집합이 아닌 집합 $G$ 에 대해 다음 조건을 만족하면, $G$ 를 군이라고 한다.

1. 연산자에 대해 닫혀 있다. 즉, 임의의 이항연산 $a\times{}b$ 이 집합 $G$ 에 속한다. $a\times{}b\in{}G$

2. 연산 $\times$ 에 대해 결합법칙이 성립한다. $(a\times{}b)\times{}c=a\times{}(b\times{}c)$

3. 집합 $G$ 내에 항등원 $e$ 가 존재한다. $a\times{}e=e\times{}a=a, e \in{} G$

4. 어떤 원소 $a$ 에 대하여 역원 $a - 1$ 가 존재한다. $a\times{}a^{-1}=a^{-1}\times{}a=e$

단, ${}^\forall{}a,{}^\forall{}b,{}^\forall{}c \in{}G$ .

보통 $| G |$ 또는 $O (G)$ 로 나타내지는 군 $G$ 의 차수(order)는 집합 G의 농도(cardinality)로 정의된다. 만일 $G$ 가 유한집합이라면, $G$ 의 차수(order)는 단순히 $G$ 의 원소의 개수와 같다.

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