군 (수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
루빅스 큐브를 돌리는 방법들을 모은 집합은 군을 이룬다.

수학에서 (群)은 어떤 집합과 이항연산이 가질 수 있는 특정한 대수적 구조로, 그 이항연산이 닫혀 있고, 항등원, 역원이 존재하고, 결합법칙을 만족하는 구조이다.

군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. 정수실수 내에서의 덧셈 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 회전하거나 대칭시키는 등의 동작 또한 군이 된다.

정의[편집]

집합 G이항연산 \times가 있을 때,

  1. \times닫혀 있고: 임의의 a, b \in G에 대해 a \times b \in G
  2. \times에 대해 결합법칙이 성립하고: 임의의 a, b, c \in G에 대해 (a \times b) \times c = a \times (b \times c)
  3. 항등원이 존재하고: 임의의 a \in G에 대해 a \times e = e \times a = ae \in G가 유일하게 존재
  4. 임의의 원소에 대해서 역원이 존재할 때: 임의의 a \in G에 대해 a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = ea^{-1} \in G가 유일하게 존재

(G, \times)이라고 정의한다.

군의 예[편집]

정수의 덧셈[편집]

정수 집합에서의 덧셈 연산은 군을 이룬다.

  1. 두 정수의 덧셈은 정수이므로, 덧셈 연산은 닫혀 있다.
  2. 정수의 덧셈 연산은 결합법칙을 만족한다.
  3. 항등원 0이 존재한다.
  4. 임의의 정수 x에 대해, -x는 x의 역원이 된다.

대칭군[편집]

정이면체군이라 불리는 사각형으로부터의 대칭군이 D4이라고 하면 다음 대칭이 생긴다:

Group D8 id.svg
id (원본)
Group D8 90.svg
r1 (90° 우회전)
Group D8 180.svg
r2 (180° 우회전)
Group D8 270.svg
r3 (270° 우회전)
Group D8 fv.svg
fv (수직 반사)
Group D8 fh.svg
fh (수평 반사)
Group D8 f13.svg
fd (대각선 반사 1)
Group D8 f24.svg
fc (대각선 반사 2)
사각형 대칭군 (D4)의 원소. 꼭짓점은 움직임을 표현하기 위해 색칠 및 숫자를 기입하였다.
  • 일치 운동은 id에서 바뀌지 않음을 표현해준다;
  • 90° 각도, 180° 각도, and 270° 각도만큼의 사각형 회전은 각각 r1, r2 and r3를 표현한다;
  • 수직과 수평의 중선에 대한 반사 (fh, fv) 또는 두 사각형이 겹친 것 (fd , fc).

군의 차수(次數, order)[편집]

보통 |G| 또는 O(G)로 나타내지는 군 G의 차수(order)는 집합 G의 농도(cardinality)로 정의된다. 만일 G유한집합이라면, G의 차수(order)는 단순히 G의 원소의 개수와 같다.

같이 보기[편집]