라그랑주 정리 (군론)

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라그랑주 정리프랑스 수학자 조제프루이 라그랑주의 이름이 붙은 군론정리로, 다음과 같은 내용이다.

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.[2] 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다.[3] 이 정리는 이후에 코시의 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

증명[편집]

H의 좌잉여류를 생각해 보면, G의 임의의 원소 a, b에 대해,

  1. |aH| = |bH|.
  2. 만약 aH∩bH가 공집합이 아니라면, aH = bH.

임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 G 상에서 'a와 b가 같은 H의 좌잉여류에 속한다'는 동치관계가 되므로, H의 좌잉여류들은 G를 분할한다. 모든 분할에 대해서 그 원소의 개수가 같고, 모두 더하면 |G|가 되므로 |H|는 |G|를 나눈다. 보다 형식적으로, G 상에서 H의 좌잉여류의 개수를 [G : H]라 쓰면 다음이 성립한다.

  • \left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|\mbox{,}

이상에서 유한군이라는 제한을 없앤다면 이는 선택공리와 동치이다.

응용[편집]

이 정리의 중요한 따름정리 중 하나로, 다음과 같은 명제가 있다.

  • 유한군 G의 임의의 원소 g에 대해 g의 위수는 G의 위수를 나눈다.

이는 <g> 역시 G의 부분군이 되므로 당연한 결과이다. 이를 이용하면 페르마의 소정리오일러의 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 자연수 n에 대해 n과 서로소인 자연수들을 모은 집합곱셈에 대해 군이 되고, 이 군의 위수가 오일러 피 함수 Φ에 대하여 Φ(n)이 되기 때문이다.

주석[편집]

  1. John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003, p. 100.
  2. agrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254
  3. P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802", Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409.

참고 문헌[편집]

  • John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.