항등원
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항등원(恒等元)은 군론 등의 대수학에서 다루는 기본적인 개념으로, 집합의 어떤 원소와 연산을 취해도 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 항등원이 무엇인지는 집합과 이항연산의 종류에 따라 달라진다.
정의 [편집]
집합 S와 S에 대해 닫혀 있는 이항연산 *로 이루어진 마그마 (S, *)가 주어졌을 때,
- S의 모든 원소 a에 대해 eL * a = a가 성립한다면, eL을 좌항등원이라 한다.
- S의 모든 원소 a에 대해 a * eR = a가 성립한다면, eR을 우항등원이라 한다.
- 만약 좌항등원과 우항등원이 같다면, e = eL = eR을 항등원이라 한다.
환론과 체론 등에서는 특별히 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구분하기도 하며, 특별히 곱셈에 대한 항등원을 단위원(單位元, unity)이라고 부르기도 한다.
항등원의 예 [편집]
| 집합 | 연산자 | 항등원 |
|---|---|---|
| 실수 | + (덧셈) | 0 |
| 실수 | × (곱셈) | 1 |
| 정사각행렬 | 행렬의 덧셈 | 영행렬 |
| 정사각행렬 | 행렬의 곱셈 | 단위행렬 |
| 함수 | 합성함수 | 항등함수 |
