피타고라스의 정리

피타고라스의 정리(문화어: 세평방 정리)는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 기본 정리이다. 이 정리는 평평한 평면, 즉 유클리드 공간 위에서 성립하며, 그 내용은 다음과 같다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.

$a^2 + b^2 = c^2$

이때 빗변의 길이를 $c$, 다른 두 변의 길이를 각각 $a, b$라고 하면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

$a^2 + b^2 = c^2$

이것은 직각삼각형의 두 밑변의 길이를 알면 그로부터 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있음을 의미한다.

피타고라스의 정리는 이러한 관계를 처음 발견·증명한 것으로 알려져 있는 그리스의 수학자 피타고라스를 기념하여 이름붙여졌다.

공식의 표현

c를 직각삼각형의 빗변의 길이, a와 b를 각각 나머지 두 변의 길이라 하면, 다음과 같이 공식으로 나타낼 수 있다.

$a^2 + b^2 = c^2\,$

또는, c에 대하여 풀이하면 다음과 같다.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}\,$

c를 알고 있고, 두 변 중 하나의 길이를 알아야 한다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

$c^2 - a^2 = b^2\,$

또는

$c^2 - b^2 = a^2\,$

이 방정식으로 직각삼각형의 세 변에 대한 간단한 관계를 알 수 있으므로, 두 변의 길이를 알면 나머지 길이를 알아낼 수 있다. 이 공식을 일반화한 것이 코사인 법칙이며, 이를 이용하면 두 변의 길이와 그 사잇각을 알면 임의의 삼각형의 나머지 변의 길이를 알아낼 수 있다. 두 변이 이루는 각이 직각인 경우 코사인의 법칙은 피타고라스의 원리로 간단히 정리된다.

증명

기하학적 증명

파일:Proof-Pythagorean-Theorem.svg 오른쪽 그림에서, H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

$\mathrm{\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}},\,\ \mathrm{\frac{CB}{AB}=\frac{HB}{CB}}$

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

$\begin{align} \mathrm{AC\times AC = AB\times AH} \\ \mathrm{CB\times CB = AB\times HB} \end{align}$

이 두 식을 더하면

$\mathrm{AC\times AC+CB\times CB=AB\times AH+AB\times HB=AB\times(AH+HB)=AB\times AB}$

이 되고, 따라서

$\mathrm{AC^2+BC^2=AB^2}$

가 성립한다.

대수적 증명

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 $(a+b)$이고, 따라서 넓이는 $(a+b)^2$이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 $c^2$, 네 개의 직각삼각형의 넓이는 $\scriptstyle \frac {ab} 2\times 4$가 된다.

따라서, 전체 넓이는 $\scriptstyle c^2 + 4 \times \frac {ab} 2 = c^2 + 2ab$가 된다. 그러므로

$\begin{align} (a+b)^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 &= c^2 \end{align}$

가 성립한다.

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#41 왼쪽의 페이지에 들어가면 96개의 증명법이 나와 있다.

역

피타고라스 정리의 역 또한 참이다.

$a^2 + b^2 = c^2$을 만족하는 임의의 양수 $a$, $b$, $c$에 대해 세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 항상 존재하며, 변 $a$와 $b$사이의 끼인각은 항상 직각이므로 이 삼각형은 직각삼각형이다.

이는 유클리드의 《원론》에서도 찾아볼 수 있다. 이 명제는 코사인 제2법칙이나 귀류법으로 증명할 수 있다.

기타 특징

피타고라스의 정리에서, 변 a, b, c 가 모두 정수라면, a, b, c중에서 적어도 하나는 반드시 3의 배수이다. 귀류법을 이용하여 증명하면 다음과 같다.

만약 a, b, c 모두 3의 배수가 아닐 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a=3m \pm1, b=3n \pm1, c=3l \pm1$

피타고라스의 정리는 $a^2+b^2=c^2$ 이므로 이에 따라 위의 값들을 대입하여 넣으면

$(3m \pm1)^2 + (3n \pm1)^2 = (3l \pm1)^2$

위의 값들을 전개하면

$(9m^2 \pm 6m + 1) + (9n^2 \pm 6n + 1) = (9l^2 \pm 6l + 1)$

이를 정리하면

$3(3m^2 + 3n^2 \pm 2m \pm2n) + 2 = 3(3l^2 \pm 2l) + 1$

좌변은 3으로 나누어서 2가 남지만 우변은 3으로 나누어서 1이 남으므로 모순이다. 따라서 a, b, c 중 하나는 3의 배수여야한다.

피타고라스의 삼중쌍을 얻는 방법. x^2+y^2=z^2에서 x=2st, y=s^2-t^2, z=s^2+t^2 이 때, gcd(s,t)=1, s와 t는 법 2에 대해 합동이 아니여야 함. 이 x,y,z에 적당한 정수들을 곱하여 삼중쌍을 무한히 생성가능하다.

같이 보기

• 피타고라스
• 드 가의 정리

참고 자료

• 수학사랑 피타고라스 정리 FAQ