삼각함수

삼각 함수

삼각함수(三角函數,Trigonometric functions)는 수학에서 사용되는 각에 대한 함수이다. 삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에 주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이 존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 이들은 무한급수나 특정 미분방정식의 해로도 표현되어, 그 영역이 임의의 양의 값과 음의값, 또는 복소수로 확장되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본 함수가 있다.

삼각함수는 삼각형의 각에 변을 연관시킬 때 사용된다. 삼각함수는 여러 방면에 응용되고 있으며, 특히 삼각형의 연구나 주기적 현상의 모형 구축에 중요하게 쓰인다.

기하학적 정의 [편집]

직각삼각형

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 $a, b, h$ 라고 할 때, 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)의 정의는 다음과 같다.

사인: $\sin A = \frac{a}{h}$

코사인: $\cos A = \frac{b}{h}$

탄젠트: $\tan A = \frac{a}{b}$

또한, 코시컨트(cosecant), 시컨트(secant), 코탄젠트(cotangent)는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: $\csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}$

시컨트: $\sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}$

코탄젠트: $\cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}$


사인과 코사인의 그래프		탄젠트 그래프		코시컨트 그래프

단위원 정의 [편집]

단위원 위의 각 점의 좌표

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 $(x, y)$ 에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 $\theta$ 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

$\sin \theta = y$

$\cos \theta = x$

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$

$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

이들은 주기함수로서, 각각 $2\pi$ (사인/코시컨트, 코사인/시컨트)또는 $\pi$ (탄젠트/코탄젠트)의 주기를 갖는다.

부호 및 변환표 [편집]

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.

사분면	sin과 csc	cos과 sec	tan와 cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

변환된 값은 다음과 같다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	$\,\sin(x)$	$\sqrt{1-\cos^2(x)}$	$\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$	$\frac{1}{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2(x)-1}} {\sec(x)}$	$\frac{1}{\csc(x)}$
cos(x)	$\, \sqrt{1-\sin^2(x)}$	$\, \cos(x)$	$\, \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$	$\, \frac{\cot(x)} {\sqrt{\cot^2(x)+ 1}}$	$\, \frac{1}{\sec(x)}$	$\, \frac{\sqrt{\csc^2(x)-1}}{\csc(x)}$
tan(x)	$\, \frac{\sin(x)}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}$	$\, \frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}$	$\, \tan(x)$	$\, \frac{1}{\cot(x)}$	$\, \sqrt{\sec^2(x)-1}$	$\, \frac{1}{ \sqrt{\csc^2(x)-1}}$
cot(x)	$\, \frac{\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)}$	$\, \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}$	$\, \frac{1}{\tan(x)}$	$\, \cot(x)$	$\, \frac{1}{\sqrt{\sec^2(x)-1}}$	$\, \sqrt{\csc^2(x)-1}$
sec(x)	$\, \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(x)}}$	$\, \frac{1}{\cos(x)}$	$\, \sqrt{1 + \tan^2(x)}$	$\, \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\cot(x)}$	$\, \sec(x)$	$\, \frac{\csc(x)}{\sqrt{\csc^2(x)-1}}$
csc(x)	$\, \frac{1}{\sin(x)}$	$\, \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}$	$\, \frac{\sqrt{1 + \tan^2 (x)}} {\tan(x)}$	$\, \sqrt{\cot^2(x) + 1}$	$\, \frac{\sec(x)}{\sqrt{\sec^2(x) - 1}}$	$\, \csc(x)$

삼각함수 항등식 [편집]

이 부분의 본문은 삼각함수 항등식입니다.

삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그 중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가 r이고 밑변이 b, 각 x의 대변 a에 대하여 $\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1$ 를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.

$\, \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제이 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제일 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

$\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y, \,$

$\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ (복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

미분과 적분 [편집]

삼각함수의 미분과 적분에 대해서는 미분표, 적분표를 참고하십시오.

다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

$\ \ \ \ f(x)$	$\ \ \ \ f'(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x + C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x + C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec^{2} x$	$-\ln \left \|\cos x\right \| + C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc^{2} x$	$\ln \left \|\sin x\right \| + C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec{x}\tan{x}$	$\ln \left \|\sec x + \tan x\right \| + C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc{x}\cot{x}$	$\ln \left \|\csc x + \cot x\right \| + C$