코사인 법칙

코사인 법칙(cosine 法則 ; law of cosine)은 수학에서, 상세히 말하면 삼각법에서, 평면상의 직각삼각형에 적용되는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형에까지 확장시킨 법칙을 말한다. 이 법칙에는 피타고라스 정리의 꼴에 각의 코사인값에 비례하는 항이 보정되어 들어간다. $\ a$, $\ b$, $\ c$를 각각 삼각형의 각 $\ A$, $\ B$, $\ C$와 마주보는 변이라고 하면 다음 공식이 성립한다.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \,\cos\, A$

이 공식은 때때로 '제2코사인법칙'이라 부른다. 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각으로 나머지 한 변의 길이를 구할 때나, 세 변의 길이로 삼각형의 각을 구하는 데에 유용하게 쓰일 수 있다.

코사인 법칙에서 피타고라스의 정리를 유도하기 위해서는 공식에 $A = \frac \pi 2$, 즉 $\cos\, A = 0$를 대입하기만 하면 충분하다. 피타고라스의 역을 유도하는 방법은 다음과 같다. $a^2 = b^2 + c^2$인 경우 $bc \ne 0$이므로 $\cos\, A = 0$이고, 즉 $A$는 직각이다.

증명

벡터와 내적을 이용하여 코사인 법칙을 간단히 증명한다. 위 그림에서 $\vec a = \vec b - \vec c$의 관계가 성립한다. $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$임을 이용하면 다음과 같이 전개할 수 있다.

$\vec{a}\cdot\vec{a}= (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) =\vec{b}\cdot\vec{b} -2\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{c}$

$|\vec a|^2 = |\vec b|^2 + |\vec c|^2 - 2 |\vec b||\vec c| \cos \theta$

구면 코사인 법칙

평면기하학이 아닌 구면기하학에서는 코사인 법칙을 다르게 정의한다. 구면에서의 코사인 법칙에서는 거리가 각으로 정의된다.
$\cos\ a = \cos\ b \cdot \cos\ c + \sin\ b\cdot \sin\ c\cdot \cos\, A$

구면에서의 코사인 법칙은 지구상에서 서로 떨어진 두 지역의 곡선거리를 구하는 데 유용하게 사용된다.

같이보기

• 사인 법칙
• 탄젠트 법칙
• 코탄젠트 법칙