코사인 법칙

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제1코사인법칙[편집]

제1코사인 법칙은 삼각형의 꼭지각의 코사인과 변 사이에는 일정한 관계가 있다는 것을 식으로 나타낸 법칙이다. 삼각형 ABC의 꼭지각 \ A, \ B, \ C에 대한 변을 각각 \ a, \ b, \ c라 하면 다음 공식이 성립한다.

a=bcosC+ccosB, b=ccosA+acosC, c=acosB+bcosA


제2코사인법칙[편집]

Cosine.png

제2코사인법칙은 수학에서, 상세히 말하면 삼각법에서, 평면상의 직각삼각형에 적용되는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형에까지 확장시킨 법칙을 말한다. 이 법칙에는 피타고라스 정리의 꼴에 각의 코사인값에 비례하는 항이 보정되어 들어간다. \ a, \ b, \ c를 각각 삼각형의 각 \ A, \ B, \ C와 마주보는 변이라고 하면 다음 공식이 성립한다.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \,\cos\, A

제2코사인법칙은 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각으로 나머지 한 변의 길이를 구할 때나 세 변의 길이로 삼각형의 각을 구하는 데에 유용하게 쓰일 수 있다.

코사인 법칙에서 피타고라스의 정리를 유도하기 위해서는 공식에 A = \frac \pi 2, 즉 \cos\, A = 0를 대입하기만 하면 충분하다. 피타고라스의 역을 유도하는 방법은 다음과 같다. a^2 = b^2 + c^2인 경우 bc \ne 0이므로 \cos\, A = 0이고, 즉 A는 직각이다.

증명[편집]

벡터내적을 이용하여 코사인 법칙을 간단히 증명한다. 위 그림에서 \vec a = \vec b - \vec c의 관계가 성립한다. \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2임을 이용하면 다음과 같이 전개할 수 있다.

\vec{a}\cdot\vec{a}= (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})
=\vec{b}\cdot\vec{b} -2\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{c}
|\vec a|^2 = |\vec b|^2 + |\vec c|^2 - 2 |\vec b||\vec c| \cos \theta

구면 코사인 법칙[편집]

평면기하학이 아닌 구면기하학에서는 코사인 법칙을 다르게 정의한다. 구면에서의 코사인 법칙에서는 거리가 각으로 정의된다.
\cos\ a = \cos\ b \cdot \cos\ c + \sin\ b\cdot \sin\ c\cdot \cos\, A


구면에서의 코사인 법칙은 지구상에서 서로 떨어진 두 지역의 곡선거리를 구하는 데 유용하게 사용된다.

같이보기[편집]