비유클리드 기하학
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비유클리드 기하학은 유클리드 공간이 아닌 공간에서 다루는 기하학으로, 쌍곡기하학, 타원기하학, 절대기하학 등이 이에 해당한다. 구면이나 말안장과 같은 곡면 위에서의 기하학적 구조를 다룬다.
유클리드 공간에서는 "한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 하나이다"라는 평행선 공리가 성립하나, 비유클리드 기하에서는 이 공리가 성립하지 않는 공간을 다룬다. 이 분야는 거의 동시에 여러 사람이 개척을 했는데, 대표적으로 가우스,리만 등이 있다. 리만은 "구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 없다"고 말했으며,가우스는 반대로 "의구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행히고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다"고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼격형의 내각의 합이 180도인 유클리드 기하학과는 달리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나(타원 기하학) 작다(쌍곡 기하학).
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