대수학

대수학(代數學, 영어: algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.

기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.

어원

algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《약분·소거 계산론》(아랍어: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라^[*])에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르(아랍어: جبر)’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.

‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 드 모르간의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 알렉산더 와일리와 이선란이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.

역사

고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 에우클레이데스의 원론(기원전 3세기)이나 구장산술(3세기), 디오판토스의 산술(3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《약분·소거 계산론》(820년)를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 체스터의 로버트가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》(라틴어: Liber algebrae et almucabala)란 제목으로 라틴어로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"(라틴어: algebra)와 "알무카발라"(라틴어: almucabala)는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.

19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.

대수학의 연구 분야

• 군론
• 환론
• 체론
• 정수론
• 대수기하학
• 추상대수학
• 선형대수학

같이 보기

• 대수 구조
• 대수학의 기본 정리
• 수학