대수학

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대수학(代數學, 영어: algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는, 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수적 구조라고 하며, 반군 · · 수학 · 가군 · · 벡터공간 · 격자 등이 있다.대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.

기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 중요한 연구분야의 하나이다. 또한, 대수학에 의거한 생각의 방식이 해석학, 기하학 등에도 퍼지며, 수학의 여러 영역에서 대수학은 공통 언어에 해당하는 수단을 제공하고 있다고 볼 수 있다.

수학사 전반에 걸쳐서 대수학에서 다루었던 주제들은 수와 수 체계, 다양한 수치 해법 또는 대수방정식(algebraic equations), 방정식의 집합 문제와 같은 것들이었다. 방정식을 일반적으로 표현한다면 다음과 같다.


대수학 본문 이미지 1 여기서 ai는 알려진 수로서 정수(integral=integer), 유리수(rational), 실수(real), 복소수(complex number)일 수 있다. x 는 미지수로서 풀어야 되는 수이다. n은 정수로서 차수(degree)이다. 더 일반적인 식은 여러 미지수를 포함하고 있다. 개략적으로 1800년경부터 수와 방정식의 영역을 넘어서 보다 일반적인 이론으로 발전하게 된다.

고대 이집트와 바빌로니아(기원전 1700년경)에 출현한 몇몇의 계산 방식은 여러 가지의 방정식을 풀기 위한 시도로 볼 수 있다. 이집트인들은 제한적인 것이었지만 고유한 수 체계를 갖고 있었으며 주로 1차 방정식(n=1)을 다루었다. 이에 비해 바빌로니아인들은 보다 다루기 쉬운 수 체계를 가지고 있어서 이차방정식(quadratic equation, n=2)과 몇몇의 고차방정식도 풀 수 있었다. 그 후 그리스인(기원전 500-300년경)들은 일종의 ‘기하 대수(geometrical algebra)’라고 볼 수 있는 넓이의 변환 기술을 개발하였다. 고대 후기에 이르러서 알렉산드리아의 디오판투스(250년경)는 계산술(Arithmetica)에서 대수학을 이용함으로써, 이후의 수학자들에게 큰 영향을 미쳤다.

중국인들도 대수학을 탐구하였으나 중국의 대수학은 서양에 거의 영향을 미치지 못하였다. 인도의 수와 대수는 서구에 영향을 미쳤는데, 십진 체계(decimal system)와 기수법(positional number systems)을 서구에서 받아들였기 때문이다.

아랍인들은 인도와 힌두의 수 체계를 서구에 전해 주었고, 대수학을 폭넓게 발전시켰다. 대표적인 인물이 알크와리즈미(Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, 800-850년경)로서 서구에 영향을 끼쳤다. 그의 무카발라(Al-jabr wa'l muqabala; Completion and Balancing)는 기초 대수 기술을 포함하고 있었다. 대수학(Algebra)라는 용어는 그의 알 자브르(al-jabr)에서 유래하였고, 이항(移項)을 의미하며, muqabala 는 이항의 결과를 간략화 한 것을 말한다. 알고리즘(algorithm)은 그의 이름과 지명을 의미하는 Al-Khwarizmi 가 변한 것이라고 한다.

르네상스 기간 중 서유럽에서 대수학은 크게 번성하였다. 서유럽이 힌두와 서유럽의 수 체계를 받아들임으로써 대수기호의 표준화와 기법이 발전되었다. 프랑스의 슈퀘(Nicolas Chuquet, 1500년경)는 큰 영향은 못 미쳤지만, ‘수의 과학 3부(Triparty en la Sciences des Nombres, 1484)에서 중요한 대수학의 개념을 다루고 있었다. 이탈리아의 루카 파치올리(1445-1517)가 쓴 수마(Summa de Arithmetica, proportioni et proportionalita, 1494)는 초기의 대수학 수준을 능가하면서 큰 영향을 미치게 된다.

독일 수학자들은 기예(art) 발전시켰고, 이에 비해 영국의 레코드(Robert Recorde, 1510-1558)는 휘트의 타산지석(whetstone of Witte, 1557)에서 대수학을 다루었다. 이탈리아의 페로(Scipione del Ferro, 약1465-1526)와 페라리(Ludovico Ferrari, 1522-1565)는 일반 3차방정식(차수 n= 3)과 4차방정식(차수 n= 4)의 해법에 중요한 공헌을 하였다. 카르다노(Girolamo Cardano, 1501-1576)는 그의 위대한 예술(Ars magna, 1545)에서 이들의 업적들을 기술하고 있다.

16세기 후반 프랑스의 비에트(Francois Viète, 1540-1603)는 해석술의 입문(In Artem Analyticem Isagoge, 1591)에서 대수이론과 기호법에 관하여 다루었다. 데카르트(Réné Descartes, 1596-1650)는 기하학(La Géométrie, 1637)에서 기하문제[해석기하]를 푸는데 있어서 대수의 이용이 대단히 편리함을 보여주었다. 또한 대수학에 새로운 기호를 추가로 도입하였다. 데카르트의 활동 시기를 전후해서 초등 대수학의 표준기호가 거의 대부분 도입되었다.

음의 값을 갖는 근이나 복잡한 근 또는 방정식의 해들이 실제로 받아들여지기까지는 상당한 기간을 요하였다. 18세기 후반부에 와서 수학자들은 n 차 방정식의 근의 존재를 확증하기 위해서 대수학의 기초 이론을 증명할 필요성을 깨닫고 있었다. 증명은 실제로 대수학 자체를 넘어서는 것이었다.

19세기 중 수학자들은 대수학에 대한 보다 일반적인 접근을 위해서, 수론과 방정식의 이론 영역을 넘어서게 되었다. 5차 방정식 이상의 문제를 해결하기 위해서 군(group)론, 체(體, field)론, 갈루아 이론이 새로 나왔다. 해밀톤(William Rowen Hamilton, 1805-1865)은 1843년부터 사원수론(四元數論, quaternions)을 만들었다. 이어서 벡터이론이 나왔다. 19세기 동안에 행렬식과 행렬은 대수학적 중요 도구가 되었다. 19세기말 대수 구조가 폭넓은 다양성을 갖춤으로서 보다 강력한 응용성을 갖게 되었다.

20세기 초에 수학자들은 추상적이고 공리적인 관점에서 대수학의 구조를 주시하게 되었다. 반데르 밸든(B. L. van der Waerden)은 1930-1931에 ‘현대대수학(Modern Algebra)’을 출간했는데 군(群, groups), 환(環, rings), 체(體, field), 격자(格子, lattices)와 벡터공간(vector spaces)등과 같은 추상적인 구조의 연구에 의한 발전은 대수학 전반에 걸쳐 주목할 만한 점들이었다. 수학자들은 대수학의 연구에 있어서 현대에 들어오면서 일반적으로 추상적인 접근 방식을 취하게 되었다.

대수학의 연구분야[편집]