대수기하학

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대수기하학(代數幾何學, algebraic geometry)은 초기에는 직교좌표계 위에 유한 개의 대수방정식들을 만족하는 해들의 자취로 표현되는 대상, 이른바 대수다양체를 연구하는 기하학 분야였다. 그러나 시간이 지날수록 급격한 발달을 거치면서 그 연구 대상이 점점 확대되다가 20세기 중반 이후 그로센딕(Alexander Grothendieck)에 의해서 굉장히 일반화 된 스킴이 탄생하면서부터 전통적인 복소대수기하학에서부터 정수론까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 사용되고 있다. 현재 많은 수학 분야들 중 가장 복잡하고 발달된 분야의 하나이다.

[편집] 다항식의 영점

구와 기울어진(slanted) 원

고전적인 대수기하학에서 주 관심사는 여러 다항식들을 모은 집합이 있을 때 거기에 속하는 모든 다항식들의 값이 0이 되는 집합이 기하학적으로 어떤 성질을 갖는가 하는 것이었다. 예를 들어, 2차원 구는 3차원 유클리드 공간 R³에서

$x^2\ +\ y^2\ +\ z^2-1\ =\ 0$

을 만족시키는 점 $(x, y, z)$ 들의 집합으로 정의될 수 있다. 비슷하게, R³에서 다음의 두 식

$\begin{array}{lllllll} x^2 &+& y^2 &+& z^2-1 &=& 0 \\ x &+& y &+& z &=& 0 \end{array}$

을 둘 다 만족시키는 점들의 집합은 원이 된다.

[편집] 아핀다양체

먼저 $k$ 가 체라 하자. 고전적 대수기하학에서는 언제나 $k$ 를 복소수체 C로 놓았으나, 실제로는 $k$ 가 대수적으로 닫혀있다는 가정만 하면 대부분의 결과가 동일하게 성립한다. 이때 $\mathbf A_n(k)$ 를 $k n$ 으로 정의하여 $k$ 상의 $n$ 차원 아핀공간이라 하고, $k$ 가 문맥에서 명확한 경우에는 단순히 $\mathbf A_n$ 이라고 쓴다. 이는 쓸데없는 정의로 보일 수도 있지만, $k n$ 이 갖는 벡터공간으로서의 구조를 '무시하기' 위한 것으로 볼 수 있다. 즉, $\mathbf A_n$ 을 단순한 점집합으로 보자는 것이다.

함수 $f: \mathbf A_n \to \mathbf A_1$ 가 다항식으로 표현될 수 있을 경우, 이를 정칙 함수(regular function)라 한다. 구체적으로는, $k[x_1,\cdots,x_n]$ 에 속하는 적당한 다항식 $p$ 가 있어서 $\mathbf A_n$ 에 속하는 임의의 점 $(t_1,\cdots,t_n)$ 에 대해 $f(t_1,\cdots,t_n) = p(t_1,\cdots,t_n)$ 이 성립하는 경우를 말한다.

따라서 $n$ 차원 아핀공간 상의 정칙 함수는 $k$ 상의 $n$ 변수 다항식과 동일한 것이며, 이를 $k[\mathbf A_n]$ 로 쓴다.

다항식의 값이 0이 되는 점을 그 다항식의 영점이라고 한다. $S$ 가 $k[\mathbf A_n]$ 의 부분집합일 때, $S$ 에 속하는 모든 다항식들이 0이 되는 점을 $V (S)$ 로 쓰고, ' $S$ 의 영점'이라고 한다. 기호로 쓰면 다음과 같다:

$V(S) = \{(t_1,\cdots,t_n) | \forall p \in S, p(t_1,\cdots,t_n) = 0\}$

$\mathbf A_n$ 의 부분집합이 적당한 $S$ 에 대해 $V (S)$ 와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다. 여기에서 $V$ 는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 variety(대수다양체)의 첫 글자를 딴 것이다.

역으로, 대수적 집합 $U$ 가 주어졌을 때 이로부터 $V (S) = U$ 가 되는 집합 $S$ 를 찾아내는 문제를 생각해 보자. $U$ 가 임의의 $\mathbf A_n$ 의 부분집합일 때, $I (U)$ 를 영점이 $U$ 를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서 $I$ 는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식 $f$ 와 $g$ 가 $U$ 에서 0이 될 경우, $f + g$ 도 $U$ 에서 0이 되며, 임의의 다항식 $h$ 에 대해 $h f$ 도 $U$ 에서 0이 되므로, $I (U)$ 는 언제나 $k[\mathbf A_n]$ 의 아이디얼이 되기 때문이다.

그렇다면,

$\mathbf A_n$ 의 부분집합 $U$ 에 대해, 어떤 경우에 $U = V (I (U))$ 가 성립할까?
다항식들의 집합 $S$ 에 대해, 어떤 경우에 $S = I (V (S))$ 가 성립할까?

첫번째 질문에 대한 대답은 자리스키 위상을 도입함으로서 얻을 수 있다. 자리스키 위상은 $\mathbf A_n$ > 상에 정의되는, $k[\mathbf A_n]$ 의 대수적 구조가 반영된 위상이다. 이때 $U = V (I (U))$ 가 성립할 필요충분조건은 $U$ 가 자리스키 위상에서 닫힌 집합이라는 것이다. 두번째 질문에 대한 대답은 힐베르트 영점 정리(Hilbert's Nullstellensatz)이다. 이 정리의 한 형태에 따르면, $I (V (S))$ 는 $S$ 에 의해 생성되는 아이디얼의 근(radical)이다. 보다 추상적인 언어로 말하자면, $I$ 와 $V$ 사이에는 갈루아 대응(Galois connection)이 있으며, 둘을 합성하면 닫힘 연산자(closure operator)가 된다는 것이다.

힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem)에 따르면 $k[\mathbf A_n]$ 의 모든 아이디얼은 유한 생성된다. 따라서 아이디얼 전체가 아닌 유한개의 다항식만을 대상으로 논리를 전개해서 정리를 증명할 수도 있으며, 이는 기초적인 대수기하학에서 중요한 도구가 된다.

그보다 작은 두 대수적 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수적 집합을 기약 대수적 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수적 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼(prime ideal)을 생성한다는 것이다.

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