사면체

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정사면체
Tetrahedron.gif
종류 플라톤의 다면체
면의 모양 정삼각형
의 개수 4
모서리의 개수 6
꼭지점의 개수 4
한 꼭지점과
만나는 면의 개수
3 (3.3.3)
쌍대다면체 정사면체

사면체(四面體)는 한 개의 꼭지점에 세 개의 이 만나고, 네 개의 삼각형 면으로 이루어진 3차원 다면체이다. 정사면체(正四面體)는 사면체 중에서 각각의 면이 정삼각형인 3차원 정다면체를 가리킨다.

공식[편집]

한 변의 길이가 a인 정사면체의 부피, 겉넓이, 높이는 다음과 같다.

V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3
A=\sqrt{3}a^2
h=\frac{\sqrt{6}a}{3}

밑면모서리 사이의 \arctan\sqrt{2} (약 55°), 두 사이의 각은 \arccos\frac{1}{3} = \arctan2\sqrt{2} (약 71°)이다.

모든 각뿔과 같이, 밑면의 넓이가 A이고 밑면에서 맞은편 꼭지점까지의 거리가 h일 때, 부피는 V = \frac{1}{3}Ah이다.

또한, 사면체 ABCT의 부피는 다음과 같이 구해진다:

V = \frac{AT\cdot BT\cdot CT}{6}\cdot\sqrt{1+(2\cdot\cos a\cdot\cos b\cdot\cos c)-(\cos^2a+\cos^2b+\cos^2c)}

여기에서 a는 각 ATB의 크기, b는 각 BTC의 크기, 그리고 c는 각 CTA의 크기이다.

네 꼭지점의 좌표를 알고 있을 때에는, a, b, c, d로 주어진 정사면체의 부피는

V = \frac{ |(\mathbf{d}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{c})| }{6}

이다.

수학적으로 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 정다면체는 정사면체와 정육면체이다. 정사면체의 무게중심이 정육면체의 무게중심보다 아래에 있어서 더 안정적이다.