다면체

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다면체(多面體, 영어: polyhedron)는 간단히 말해 다각형들을 면으로 가지는 입체 도형이다. 현대 수학에서 다면체라 불리는 대상들을 전부 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않으나, 대부분의 정의에서 다면체는 다음의 각 차원별 구성 요소들로 이루어져 있다.

성질[편집]

이름[편집]

다면체의 이름은 보통 면의 숫자에 따라 정한다. 예를 들어, 4개의 면을 가진 정다면체정사면체라 하는 식이다. 때로는 간단한 다면체에 특수한 작업을 해서 다른 다면체를 얻었을 경우 깎은 정육면체 식으로 그 작업의 명칭을 덧붙이기도 한다. 또한, 밀러의 괴물(Miller's monster)이나 Szilassi 다면체처럼 사람의 이름이 붙는 경우도 있다.

[편집]

복합 다면체가 아닌 경우, 변에 대해 다음의 두 쌍대 성질이 성립한다.

  • 임의의 변은 정확히 두 꼭짓점을 연결한다.
  • 임의의 변은 정확히 두 면을 연결한다.

오일러 지표[편집]

다면체가 가진 꼭짓점의 수를 V, 변의 수를 E, 면의 수를 F라 할 때, 다면체의 오일러 지표 χ는 V - E + F로 정의한다. 단일연결 다면체의 오일러 지표는 언제나 2이다.

쌍대다면체[편집]

Dual Cube-Octahedron.svg

임의의 다면체에 대해 꼭짓점과 면의 위치가 뒤바뀐 쌍대다면체가 존재한다. 대체로 쌍대다면체는 구면 상반변환을 통해 얻을 수 있다.

꼭짓점 도형[편집]

각 꼭짓점에 대해 그곳으로 연결되는 꼭짓점들을 서로 연결해서 만들어지는 도형을 꼭짓점 도형(vertex figure)이라 한다. 꼭짓점 도형이 정다각형인 경우를 정꼭짓점이라고 부른다.

다면체의 분류와 용어[편집]

  • 볼록 다면체 - 내부 전체가 볼록 집합을 이루는 다면체를 말한다. 보다 구체적으로는, 표면이 자기 자신과 교차하지 않으며, 표면에 속하는 임의의 두 점을 연결하는 선분이 표면이나 내부에 포함되는 경우이다. 이 조건을 다면체의 정의에 포함시켜, 볼록 다면체를 단순히 '다면체'라 부르는 경우도 있다.
  • 오목 다면체 - 내부가 오목하게 들어가 있는 다면체를 말한다. 즉, 다면체의 한 꼭짓점에서 모이는 내각의 합이 360도 이상인 다면체를 뜻한다.
  • 점추이 다면체 - 임의의 두 꼭짓점에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체. 즉 이는 등거리변환들이 꼭짓점들의 집합에 추이적으로 작용하는 경우이다.
  • 변추이 다면체 - 임의의 두 변에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
  • 면추이 다면체 - 임의의 두 면에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
  • 정다면체 - 위의 점추이, 변추이, 면추이 조건을 모두 만족시키는 다면체이다. 따라서 정다면체의 모든 면은 전부 동일한 정다각형이다.
  • 준정다면체 - 변추이지만 점추이, 면추이는 아닌 다면체를 말한다. 정의에 따라 준정다면체의 각 면은 정다각형이다. 점추이가 아닌 변추이 및 면추이 다면체는 쌍대 준정다면체라고 한다.
  • 반정다면체- 점추이이며, 모든 면이 정다각형인 다면체를 말한다. (다르게 정의하는 경우도 많으므로 주의할 것.) 모든 꼭짓점이 정꼭짓점이며 변추이가 아닌 면추이 다면체를 쌍대 반정다면체라고 한다.
  • 고른 다면체 - 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체. 즉 이는 정다면체, 준정다면체, 반정다면체 셋 중 하나에 해당한다. 쌍대 고른 다면체는 모든 꼭짓점이 정꼭짓점인 면추이 다면체이다.
  • 귀한 다면체 - 점추이 및 면추이적인 다면체. 특정 다면체가 정다면체일 필요충분조건은 그것이 고르면서 귀하다는 것이다.

고른 다면체[편집]

H.S.M. 코제트는 1954년, 무한한 각기둥과 엇각기둥 말고는 75 종류의 고른 다면체가 있다고 추측했다. 이 추측은 후에 J. 스킬링이 증명하였다.

  • 9개의 정다면체
  • 15개의 준정다면체
    • 2개의 볼록 준정다면체
    • 13개의 오목 준정다면체
  • 반정다면체
    • 볼록 반정다면체
    • 40개의 오목 반정다면체

일반화[편집]

무한다면체[편집]

고전적인 다면체는 유한한 유계 영역을 감싸는, 꼭짓점과 변들로 구획된 표면이다. 이 표면을 한없이 확장한 것을 무한다면체라 한다. 다음과 같은 예가 있다:

한 차원 낮은 유사한 대상으로 무한다각형이 있다.

복소다면체[편집]

3차원 유니타리 공간에 포함된 다면체로, 실수 차원으로는 6차원이다. Coxeter(1974)를 참고할 것.

함께 보기[편집]

참고자료[편집]

  • Coxeter, H.S.M.; Regular complex Polytopes, CUP (1974).
  • Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al, Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.
  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488. (pdf)
  • Pearce, P.; Structure in nature is a strategy for design, MIT (1978)

더 읽을 것[편집]

고등학교 수준에서 읽을 수 있는 책[편집]

  • Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Cundy, H.M. & Rollett, A.P.; Mathematical models, 1st Edn. hbk OUP (1951), 2nd Edn. hbk OUP (1961), 3rd Edn. pbk Tarquin (1981).
  • Holden; Shapes, space and symmetry, (1971), Dover pbk (1991).
  • Pearce, P and Pearce, S: Polyhedra primer, Van Nost. Reinhold (May 1979), ISBN-10: 0442264968, ISBN-13: 978-0442264963.
  • Tarquin publications: books of cut-out and make card models.
  • Wenninger, M.; Polyhedron models for the classroom, pbk (1974)
  • Wenninger, M.; Polyhedron models, CUP hbk (1971), pbk (1974).
  • Wenninger, M.; Spherical models, CUP.
  • Wenninger, M.; Dual models, CUP.

학부 수준[편집]

  • Coxeter, H.S.M. DuVal, Flather & Petrie; The fifty-nine icosahedra, 3rd Edn. Tarquin.
  • Coxeter, H.S.M. Twelve geometric essays. Republished as The beauty of geometry, Dover.
  • Thompson, Sir D'A. W. On growth and form, (1943). (not sure if this is the right category for this one, I haven't read it).

설계 및 건축을 중심으로[편집]

  • Critchlow, K.; Order in space.
  • Pearce, P.; Structure in nature is a strategy for design, MIT (1978)
  • Williams, R.; The geometrical foundation of natural structure, Dover (1979).

전문 서적[편집]

역사적 자료[편집]

  • Brückner, Vielecke und Vielflache (Polygons and polyhedra), (1900).
  • Fejes Toth, L.;