등거리변환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 등거리변환(等-變換, 영어: isometry 아이소메트리[*]) 또는 등거리사상(等-寫像) 또는 등장사상(等長寫像)은 거리를 보존하는 거리공간 사이 함수다.

정의[편집]

(X,d_X)(Y,d_Y)거리공간이라고 하자. 이 두 거리공간 사이의 등거리변환 f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족하는 함수다. 임의의 a,b\in X에 대하여,

d_X(a,b)=d_y(f(a),f(b)).

등거리변환은 자동적으로 연속함수다.

등거리 동형사상(영어: isometric isomorphism)은 전단사 등거리변환이다. 이는 거리공간 사이의 동형사상이다. 등거리 동형사상은 항상 위상동형사상이다.

선형 등거리변환(영어: linear isometry)는 노름공간 사이에서 노름을 보존하는 함수다. 즉, (X,\Vert\Vert_X)(X,\Vert\Vert_Y)노름공간이라고 하자. 그렇다면 이 두 노름공간 사이의 선형 등거리변환 f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족하는 선형변환이다. 임의의 a\in X에 대하여,

\Vert a\Vert_X=\Vert f(a)\Vert_Y.

선형 등거리변환은 등거리변환이다.

함께 보기[편집]