삼각형

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삼각형

삼각형(三角形)은 세 점을 선분으로 이어 만든 도형이다. 삼각형의 세 점을 꼭지점이라 하고, 선분을 변이라고 한다.

[편집] 종류

삼각형의 종류

일반적인 삼각형	이등변삼각형	직각삼각형
직각이등변삼각형	정삼각형	둔각삼각형
예각삼각형

[편집] 넓이

[편집] 밑변의 길이와 높이를 알 때

밑변의 길이가 $a$ 이고, 높이가 $h a$ 인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

$S = \frac {ah_a} {2}$

[편집] 세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 이고, $s=\frac{a+b+c}{2}$ 일 때 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다. (헤론의 공식)

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

[편집] 두 변과 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 이고, 세 각의 크기가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 인 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다.

$S = \frac {bc \sin A} {2}= \frac {ca \sin B} {2}= \frac {ab \sin C} {2}$

[편집] 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 이고, 세 각의 크기가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 인 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다.

$S = \frac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin (B+C)} = \frac {b^2 \sin C \sin A} {2 \sin (C+A)} = \frac {c^2 \sin A \sin B} {2 \sin (A+B)}$

[편집] 세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 이고, 내접원의 반지름이 $r$ 이며, $s=\frac{a+b+c}{2}$ 인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

S = r s

[편집] 세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 이고, 외접원의 반지름이 $R$ 인 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다.

$S = \frac {abc} {4R}$

[편집] 세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 이고, 내접원의 반지름이 $r$ 인 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다.

$S = r^2\cdot (\cot \frac {A} {2}+ \cot \frac {B} {2}+ \cot \frac {C} {2})$

[편집] 세 각의 크기와 외접원의 반지름의 크기를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$ , $B$ , $C$ 이고, 외접원의 반지름이 $R$ 인 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같다.

$S = 2R^2 \cdot \sin A \sin B \sin C$

[편집] 정삼각형

한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac {\sqrt3} {4} a^2$

[편집] 2차원 직교좌표

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x₁,y₁),(x₂,y₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}$

[편집] 2차원 극좌표

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r₁,θ₁),(r₂,θ₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac{|r_1 \cos \theta_1 r_2 \sin \theta_2 - r_2 \cos \theta_2 r_1 \sin \theta_1|}{2}= \frac{r_1 r_2 \sin (|\theta_1 - \theta_2|)}{2}$

[편집] 성질

[편집] 유클리드 기하학

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

세 각의 합은 180도이다.
삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
중점연결정리
피타고라스의 정리
사인 법칙
코사인 법칙

[편집] 비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각 삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 언제나 180도가 되지는 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각 삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과할 수 있음을 보여준다.

[편집] 삼각형의 합동 조건

삼각형의 합동조건에는 대표적인 4가지가 있다.

SSS합동: 모든 변의 길이가 같을때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
SAS합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
ASA합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
AAS합동: 두 각과 다른 변의 길이를 아는 경우. 이 경우에는 두 각의 크기를 이용하여 변의 다른 끝 각을 알아낸 다음 ASA합동을 이용한다.

[편집] 참고

삼각형의 오심

v • d • e 다각형
변의 수로 나열함.
1~10개변	일각형 · 이각형 · 삼각형 · 사각형 · 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 · 구각형 · 십각형
11~20개변	십일각형 · 십이각형 · 십삼각형 · 십사각형 · 십오각형 · 십육각형 · 십칠각형 · 십팔각형 · 십구각형 · 이십각형

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