삼각형

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삼각형

삼각형(三角形)은 세 점을 선분으로 이어 만든 도형이다. 삼각형의 세 점을 꼭지점이라 하고, 선분을 변이라고 한다.

[편집] 종류

삼각형의 종류

일반적인 삼각형	이등변삼각형	직각삼각형
직각이등변삼각형	정삼각형

[편집] 넓이

삼각형의 넓이 공식

밑변의 길이가 $a$ 이고 높이가 $h$ 인 모든 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
$S = \frac {ah} 2 = \frac 1 2 a b \sin \angle C$ (기본 공식, 밑변의 길이와 높이를 알 때)

삼각형 ABC에서 변 BC, CA, AB의 길이가 각각 a, b, c이고 $s=\frac{a+b+c}{2}$ , 내접원의 반지름이 r, 외접원의 반지름이 R 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (헤론의 공식, 세 변의 길이를 알 때)

$S = \frac {1} {2} {bc\cdot sinA}= \frac 1 2 {ca\cdot sinB}= \frac 1 2 {ab\cdot sinC}$ (두 변과 끼인각의 크기를 알 때)

$S = \frac {a^2 sinB sinC} {2sin(B+C)} = \frac {b^2 sinC sinA} {2sin(C+A)} = \frac {c^2 sinA sinB} {2sin(A+B)}$ (한 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때)

$S = r\cdot s$ (세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때)

$S = \frac {abc} {4R}$ (세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때)

$S = 2R^2\cdot sinAsinBsinC$ (세 각의 크기와 외접원의 반지름의 크기를 알 때)

[편집] 성질

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

세 각의 합은 180도이다.
피타고라스의 정리

[편집] 비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각 삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 언제나 180도가 되지는 않는다. 예를 들어 지구를 완전한 구라고 가정할 때, 남극에서 출발해서 적도에서 90도 꺾은 다음 남극에서 90도 되는 다른 지점을 이어서 직각삼각형을 그리면 세 각의 합은 $90 \times 3=270$ 도가 된다.