삼각형

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삼각형
Triangle with notations 2.svg
변과 각의 수 3
내각의 합 180°

삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭지점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

종류[편집]

삼각형의 종류

넓이[편집]

밑변의 길이와 높이를 알 때[편집]

밑변의 길이가 a이고, 높이가 h_a인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

 S = \frac {a h_a} {2}

삼각함수 공식[편집]

세 변의 길이를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, s=\frac{a+b+c}{2} 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)

 S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

두 변과 끼인각의 크기를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = \frac {bc \sin A} {2}= \frac {ca \sin B} {2}= \frac {ab \sin C} {2}

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = \frac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin (B+C)} = \frac {b^2 \sin C \sin A} {2 \sin (C+A)} = \frac {c^2 \sin A \sin B} {2 \sin (A+B)}

세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 내접원의 반지름이 r이며, s=\frac{a+b+c}{2}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 \ S = rs

세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 외접원의 반지름이 R인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = \frac {abc} {4R}

세 변의 길이와 방접원의 반지름 중 하나의 길이를 알 때[편집]

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r_a, r_b, r_c이며, s=\frac{a+b+c}{2}인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 \ S =(s-a) r_a = (s-b) r_b = (s-c) r_c

세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때[편집]

세 각의 크기가 각각 A, B, C이고, 내접원의 반지름이 r인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = r^2 \left( \cot \frac {A} {2}+ \cot \frac {B} {2}+ \cot \frac {C} {2} \right)

세 각의 크기와 외접원의 반지름의 크기를 알 때[편집]

세 각의 크기가 각각 A, B, C이고, 외접원의 반지름이 R인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = 2R^2 \cdot \sin A \sin B \sin C

내접원과 모든 방접원의 반지름의 길이를 알 때[편집]

내접원의 반지름이 r이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 r_a, r_b, r_c인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

 S = \sqrt{r r_a r_b r_c}

2차원 직교좌표[편집]

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x1,y1),(x2,y2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

 S = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}

2차원 극좌표[편집]

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r1,θ1),(r2,θ2)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

 S = \frac{|r_1 \cos \theta_1 r_2 \sin \theta_2 - r_2 \cos \theta_2 r_1 \sin \theta_1|}{2}= \frac{r_1 r_2 \sin (|\theta_1 - \theta_2|)}{2}

n차원 좌표 공간[편집]

한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를  \vec{X}, \vec{Y} 라 하자. 2보다 크거나 같은 n차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를  S_{n} 라 하면

 S_{n} = \frac{1}{2} \sqrt{( \left| \vec{X} \right| \left| \vec{Y} \right| )^{2} - ( \vec{X} \cdot \vec{Y} )^{2} }

이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여  \vec{X} = ( x_{1}\, , x_{2}\, , x_{3}\, , ... \, , x_{n} ),\ \vec{Y} = ( y_{1}\, , y_{2}\, , y_{3}\, , ... \, , y_{n} ) 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

 S_{n} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \begin{vmatrix} x_{i} & y_{i} \\ x_{j} & y_{j} \end{vmatrix} ^{2} }

벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서  n=2 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.

정삼각형[편집]

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

 S = \frac {\sqrt {3} } {4} a^2

성질[편집]

유클리드 기하학[편집]

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

비유클리드 기하학[편집]

지구 위에 그려진 직각삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 언제나 180도가 되지는 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과할 수 있음을 보여준다.

기타 성질[편집]

삼각형의 합동 조건[편집]

삼각형의 합동조건에는 대표적인 4가지가 있다.

  • SSS합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
  • SAS합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
  • ASA합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
  • AAS합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

RHS 합동과 RHA 합동

같이 보기[편집]