삼각형

삼각형

삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭지점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

종류

삼각형의 종류

일반적인 삼각형 이등변삼각형 직각삼각형 직각이등변삼각형 정삼각형 둔각삼각형 예각삼각형

넓이

밑변의 길이와 높이를 알 때

밑변의 길이가 $a$이고, 높이가 $h_a$인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

$S = \frac {a h_a} {2}$

삼각함수 공식

세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, $s=\frac{a+b+c}{2}$ 일 때 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다. (헤론의 공식)

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

두 변과 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S = \frac {bc \sin A} {2}= \frac {ca \sin B} {2}= \frac {ab \sin C} {2}$

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S = \frac {a^2 \sin B \sin C} {2 \sin (B+C)} = \frac {b^2 \sin C \sin A} {2 \sin (C+A)} = \frac {c^2 \sin A \sin B} {2 \sin (A+B)}$

세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 내접원의 반지름이 $r$이며, $s=\frac{a+b+c}{2}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$\ S = rs$

세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, 외접원의 반지름이 $R$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S = \frac {abc} {4R}$

세 변의 길이와 방접원의 반지름 중 하나의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 $r_a$, $r_b$, $r_c$이며, $s=\frac{a+b+c}{2}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$\ S =(s-a) r_a = (s-b) r_b = (s-c) r_c$

세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$이고, 내접원의 반지름이 $r$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S = r^2 \left( \cot \frac {A} {2}+ \cot \frac {B} {2}+ \cot \frac {C} {2} \right)$

세 각의 크기와 외접원의 반지름의 크기를 알 때

세 각의 크기가 각각 $A$, $B$, $C$이고, 외접원의 반지름이 $R$인 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같다.

$S = 2R^2 \cdot \sin A \sin B \sin C$

내접원과 모든 방접원의 반지름의 길이를 알 때

내접원의 반지름이 $r$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 $r_a$, $r_b$, $r_c$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S = \sqrt{r r_a r_b r_c}$

2차원 직교좌표

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x₁,y₁),(x₂,y₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}$

2차원 극좌표

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r₁,θ₁),(r₂,θ₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac{|r_1 \cos \theta_1 r_2 \sin \theta_2 - r_2 \cos \theta_2 r_1 \sin \theta_1|}{2}= \frac{r_1 r_2 \sin (|\theta_1 - \theta_2|)}{2}$

정삼각형

한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

$S = \frac {\sqrt {3} } {4} a^2$

성질

유클리드 기하학

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

• 세 각의 합은 180도이다.
• 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
• 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
• 중점연결정리
• 피타고라스의 정리
• 사인 법칙
• 코사인 법칙
• 체바의 정리/메넬라우스의 정리

비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 언제나 180도가 되지는 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과할 수 있음을 보여준다.

삼각형의 합동 조건

삼각형의 합동조건에는 대표적인 4가지가 있다.

• SSS합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
• SAS합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
• ASA합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
• AAS합동: 두 각과 다른 변의 길이를 아는 경우. 이 경우에는 두 각의 크기를 이용하여 변의 다른 끝 각을 알아낸 다음 ASA합동을 이용한다.

같이 보기

• 삼각형의 오심
• 역삼각형
• 삼각법