디오판토스 방정식

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수론에서, 디오판토스 방정식(영어: Diophantine equation)은 정수로 된 만을 허용하는 부정 다항 방정식이다. 디오판토스 문제는 미지의 변수와 변수의 수 보다 적은 방정식을 제시하고, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수해들을 찾도록 한다. 보다 기술적인 용어로서 설명하면, 디오판토스 문제는 부정 다항식으로 표현되는 대수곡선이나 대수곡면, 또는 보다 일반적인 대수다양체에 대하여 정수로 표현될 수 있는 모든 격자 을 나타내라는 것과 같다.

역사[편집]

이러한 방정식을 디오판토스 방정식이라 부르는 것은 헬레니즘 시기인 3세기 무렵 알렉산드리아의 수학자였던 디오판토스가 이런 유형의 부정 다항 방정식을 만들고 연구하여 정리하였기 때문이다. 디오판토스는 자신이 연구한 문제들을 정리하여《산학》(算學, 라틴어: Arithmetica 아리트메티카[*], 고대 그리스어: Ἀριθμητικῶν 아리트메티콘[*])을 저술하였다. 디오판토스는 수학 기호대수학에 도입한 최초의 수학자들 가운데 한 명이기도 하다.[1]

개별적인 디오판토스 방정식은 오래전부터 퍼즐이나 문제의 형태로 알려져 왔다. 1637년 피에르 드 페르마는 디오판토스의 저서 《산학》의 여백에 "n이 2보다 더 큰 정수일 때,  x^n + y^n = z^n 를 만족하는 정수 x, y, z 은 존재하지 않는다"라고 적었다. 페르마의 마지막 정리로 불리게 된 이 문제는 1994년이 되어서야 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다. 1657년 페르마는 61 x^2 + 1 = y^2 의 해를 구하였는데, 사실 이 문제는 그 보다 천년전 인도의 브라흐마굽타에 의해 해결된 바 있다. 18세기 들어 레온하르트 오일러도 동일한 방정식의 해를 구하였다.

디오판토스 방정식의 일반형인 2차형식은 20세기가 되어서야 정리되었다. 디오판토스 방정식을 연구하는 분야는 오늘날 "디오판토스 해석학"이라고 불린다.[2]

디오판토스 방정식의 예[편집]

다음의 예제에서 x, y, z는 미지의 정수, 나머지 문자는 주어진 정수이다.

  • ax + by = c: 선형 디오판토스 방정식
  • x^n + y^n = z^n: n=2일 때에는 무한히 많은 해가 존재하며, 이 해를 피타고라스 수라고 한다. n>2인 경우에는 페르마의 마지막 정리에 따라 x, y, z가 모두 0이 아닌 정수해가 존재하지 않는다.
  • x^2 - ny^2 = 1: 이 방정식은 영국의 수학자 존 펠의 이름을 따 펠 방정식이라 불린다. 이와 같은 형태의 방정식은 7세기 인도의 수학자 브라흐마굽타와 17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마에 의해서도 연구된 바 있다.
  • \frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}  : 에르되시-스트라우스 추측은 n이 2이상의 정수일 때 이 방정식을 만족하는 정수해 x, y, z가 언제나 존재할 것이라 추측한다. 이 방정식을 일반적인 디오판토스 방정식의 형태로 나타내면 4xyz = n(xy + yz + xz) 이 된다.

디오판토스 해석학[편집]

전형적인 질문[편집]

디오판토스 해석학에서는 디오판토스 방정식에 대한 다음과 같은 질문들을 다룬다.

  1. 해가 있는가?
  2. 자명한 해[주해 1]를 제외한 다른 해가 있는가?
  3. 해의 개수가 무한한가? 아니면 유한한가?
  4. 모든 해를 구할 수 있는가?
  5. 모든 해 가운데 하나를 이용하여 검산할 수 있는가?

수학자들은 이러한 질문들로 짜인 퍼즐이나 방정식을 두고 많은 문제를 풀어왔다. 개중에 어떤 것은 해답을 얻기까지 많은 시간이 걸리기도 하는데, 페르마의 마지막 정리의 경우 해결하는데 300년이 넘는 시간이 걸렸다.[3]

전형적인 예제[편집]

  • 문제

A와 B가 0 ~ 9의 아라비아 숫자라고 할 때, 아버지는 AB세이고 아들은 BA세이다. 아들의 나이에 두배를 하면 아버지의 나이보다 한 살 더 많다. 아버지와 아들의 나이는 몇 세인가? (단, AB는 10A+B를 나타내며 A와 B의 곱을 의미하지 않는다.)

힐베르트의 열 번째 문제[편집]

1900년 다비트 힐베르트는 20세기에 해결하여야 할 23개의 수학 문제를 제시하였다. 힐베르트의 문제들로 불리는 이 문제들 가운데 제10항목은 "임의로 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 판별할 수 있는 알고리즘을 제시하라"는 것이었다. 1970년 마티야세비치 정리에 따라 그러한 알고리즘을 만들 수 없다는 것이 증명되었다.[4]

선형 디오판토스 방정식[편집]

a x + b y = c와 같은 형식의 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다. 특히 c 가 a 와 b 의 최대공약수일 때 이를 베주 항등식이라고 한다. 베주 항등식의 해는 무한히 많으며, 확장된 유클리드 알고리즘으로 구할 수 있다.

주해[편집]

  1. 자명한 해는 모든 변수가 0인 경우나 산술로서 간단히 계산이 가능한 경우 등을 말한다. 예를 들어, 페르마의 마지막 정리의 디오판토스 방정식 x^n + y^n = z^n 의 경우 x, y, z 가 모두 0 이면 n의 값과 관계없이 언제나 성립한다. 그러나 페르마의 마지막 정리는 이런 자명한 경우는 논의에서 제외한다. 리만 가설 역시 자명한 해는 취급하지 않는다.

주석[편집]

  1. Heath, Sir Thomas (1981). A history of Greek mathematics. 2. Cambridge University Press: Cambridge. pp.440-517
  2. 디오판토스 방정식을 해석학에 접목시킨 사람은 레온하르트 오일러이다. - E.T. 벨, 안재구 역, 수학을 만든 사람들(상), 미래사, 2002년, ISBN 8970877037, 170쪽
  3. 사이먼 싱, 박병철 옮김, 《페르마의 마지막 정리》, 영림카디널, 1998, ISBN 89-85055-97-6
  4. Matiyasevich Yu. Hilbert's Tenth Problem. Original Russian edition (1993) Nauka publisher; English translation (1993) MIT Press; French translation (1995) Masson editeur

바깥 고리[편집]