층 (수학)

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수학에서, (層, 영어: sheaf 시프[*], 프랑스어: faisceau 페소[*])은 위상공간에서 국소적 구조를 대역적으로 붙이는 데 쓰이는 구조다. 즉, 기하학적 구조 위에서 부분적으로 정의된 데이터를 대역적으로 다룰 수 있게 한다. 위상공간 위에 정의된 층은 각 열린 집합에 대하여 어떤 대상을 대응시키고, 층의 경우 이러한 국소적인 데이터를 이어붙일 수 있다. 이렇게 이어붙임이 불가능한 경우를 준층(準層, 영어: presheaf 프리시프[*], 프랑스어: préfaisceau 프레페소[*])이라고 부른다. 층의 개념은 위상수학·대수기하학·미분기하학에서 널리 쓰인다.

정의[편집]

층의 정의는 보통 두 단계로 이루어진다.

  1. 준층은 위상공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시키는 구조다. 즉, 어떤 위상공간 위에 주어진 국소적인 데이터를 나타낸다.
  2. 결합공리라는 조건을 만족시키는 준층이다. 결합공리는 국소적으로 주어진 데이터를 대역적으로 붙이는 데 필요한 조건이다.

준층[편집]

위상공간 X범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자. (집합 범주, 아벨 군 범주, 가환환 범주, 어떤 가환환 위에서의 가군의 범주 등이 쓰인다.) X열린 집합들의 범주 \operatorname{Open}(X)X의 열린 집합을 대상으로 하고, 열린 집합 사이의 포함 관계 \iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V를 사상으로 하는 범주이다. (즉, \hom(U,V)가 항상 0개 또는 1개의 원소를 갖는다.)

X 위의, \mathcal C 값을 갖는 준층함자 \operatorname{Open}(X)^{\operatorname{op}}\to\mathcal C이며, 준층들의 범주를 \operatorname{PSh}(X,\mathcal C)라고 한다. 준층 \mathcal F\in\operatorname{PSh}(X,\mathcal C)의, 열린 집합 U\in\operatorname{Open}(X) 위에서의 단면(영어: section) \Gamma(U,\mathcal F)

\Gamma(U,\mathcal F)=\mathcal F(U)

이다.

구체적으로, 준층 \mathcal F\in\operatorname{PSh}(X,\mathcal C)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 모든 열린 집합 U\subset X에 대하여, F(U)\in\mathcal C
  • 모든 열린 집합들 U\subset V\subset X에 대하여, \mathcal F(\iota_{UV})\colon F(U)\to F(V)

이들은 다음과 같은 함자의 공리들을 만족시킨다. 열린 집합U\subset V\subset W\subset XU에 대하여,

  • \mathcal F(\iota_{UU})=\operatorname{id}_{\mathcal F(U)}
  • \mathcal F(\iota_{UV})\circ\mathcal F(\iota_{VW})=\mathcal F(\iota_{UW})

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\mathcal C\to\operatorname{Set}구체적 범주(영어: concrete category)라고 하자. 위상공간 X 위의, 범주 \mathcal C 값을 갖는 (層, 영어: sheaf, 프랑스어: faisceau)은 다음 두 성질들을 만족시키는 준층 \mathcal F\in\operatorname{PSh}(X,\mathcal C)이다. 모든 열린 집합 U\subset X 및 그 열린 덮개 \mathcal V\subset\mathcal P(X) (\bigcup\mathcal V=U) 및 임의의 s,t\in\mathcal F(U)에 대하여,

  • (국소성) 임의의 s,t\in\mathcal F(U)에 대하여, 만약 모든 V\in\mathcal V에 대하여 s|_V=t|_V라면 s=t이다.
  • (결합성) 각 V\in\mathcal V에 대하여, s_V\in\mathcal F(V)가 주어졌다고 하고, 모든 V,V'\in\mathcal V에 대하여 s_V|_{V'}=s_{V'}|_V라고 하자. 그렇다면 모든 V\in\mathcal V에 대하여 s|_V=s_Vs\in\mathcal F(U)가 존재한다.

X 위의, 범주 \mathcal C 값을 갖는 층들의 범주는 \operatorname{Sh}(X,\mathcal C)라고 쓴다.

층의 사상[편집]

두 층 \mathcal F,\mathcal G\in\operatorname{Sh}(X,\mathcal C) 사이의 사상 \phi\colon\mathcal G\to\mathcal F는 함자 사이의 자연 변환이다. 즉, 모든 열린 부분집합 U에 대해서 \mathcal C 속의 사상들 \phi(U)\colon\mathcal G(U)\to\mathcal F(U)를 모은 것들 가운데, 제한 사상들 res와 호환되는 것들이다. 즉, 두 열린 부분집합 U\subset V에 대해서 다음의 그림이 가환하여야 한다.

SheafMorphism-01.png

이 정의를 조금 더 일반화하여, 서로 다른 위상공간 위에 정의된 층 사이에도 사상을 정의할 수 있다. 두 위상공간 X,Y\in\operatorname{Top} 사이의 연속함수 f\colon X\to Y 및 층 \mathcal F\in\operatorname{Sh}(X,\mathcal C), \mathcal G\in\operatorname{Sh}(Y,\mathcal C)에 대하여, 두 위상공간에 대한 층 사이의 사상은 다음과 같이 범주론적으로 정의할 수 있다. 위상공간의 범주 \operatorname{Top} 및 범주의 범주 \operatorname{Cat}를 생각하자. (엄밀하게 말하면, 주어진 그로텐디크 전체집합에 속하는 위상공간·범주의 범주를 생각한다.) 이 경우, 자연스러운 함자

\operatorname{Open}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Cat}^{\operatorname{op}}
\operatorname{Open}\colon X\mapsto\operatorname{Open}(X)
\operatorname{Open}\colon(f\colon X\to Y)\mapsto(\operatorname{Open}f\colon U\subset Y\mapsto f^{-1}(U)\subset X)

가 존재한다. 즉, \operatorname{Open}(f)는 다음과 같은 함자이다.

\operatorname{Open}(f)\colon\operatorname{Open}(Y)\to\operatorname{Open}(X)

그렇다면

\mathcal F\colon\operatorname{Open}(X)\to\mathcal C^{\operatorname{op}}
\mathcal G\colon\operatorname{Open}(Y)\to\mathcal C^{\operatorname{op}}

이므로, f에 대한 층 사상 \mathcal G\to\mathcal F자연 변환 \mathcal G\implies \mathcal F\circ\operatorname{Open}(f)이다. 구체적으로, f에 대한 층 사상 \phi\colon\mathcal G\to\mathcal F는 모든 열린 U\subset Y에 대해서 \mathcal C의 사상들 \phi_U\colon\mathcal G(U)\to\mathcal F(f^{-1}(U))를 모은 것들 가운데, 모든 Y의 열린 집합들 U\subset V\subset Y에 대해서 다음의 그림이 가환하는 경우이다.

SheafMorphism-02.png

만약 f=\operatorname{id}_X인 경우, 이는 이전의 정의와 일치한다.

준층 사이의 사상도 마찬가지로 정의한다.

줄기와 싹[편집]

X가 위상공간이고, xX의 한 점이라고 하자. FX위에서 주어진 어떤 층이라고 하자. 이때에, 우리는 층 F가 점 x 주변에서는 어떻게 행동하는지 다루려고 한다. 해석학적인 용어로 설명을 하자면, x로 계속 가까이 가까이 갈때에 F가 어떻게 행동하는지 알고 싶다는 것이다. 대수기하학에서는 자리스키 위상이 지나치게 거치므로, 통상적인 해석학적 극한 대신 귀납적 극한을 사용한다. 즉, x주변의 모든 열린 부분집합 N에 대해서 F(N)를 고른 뒤, 이들에 대해서 부분 순서(partial order)를 준 것에 대하여, 범주론적 공극한(colimit)을 택한다. 이러한 극한을 일반적으로 Fx처럼 쓰고, 이것을 Fx에서의 줄기(영어: stalk)라고 부른다. 만약 F\mathcal C 값을 갖는 층이라면, Fx가 존재한다는 가정 아래 Fx\mathcal C의 대상이 되어야 한다. 이 극한이 항상 존재하지는 않지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 \mathcal C아벨 군이나 가환환의 범주인 경우에는 존재한다.

정의에 의해서, 점 x를 포함하는 임의의 열린 부분 집합 U에 대해서, 자연스러운 사상 F(U) → Fx가 존재한다. 이때에, U위의 F의 단면 f에 대해서, 이 사상을 적용하여서 얻어지는 Fx의 원소를 fx에서의 (영어: germ)이라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 의 개념을 일반화한 것이다. 직관적으로 말하자면, fx에서의 이라고 하는 것은, 단면 fx에서의 지역적인 모든 행동에 대한 정보를 담는다.

일부 층들에 대해서는 싹은 잘 작동하지만, 일부 경우는 그렇지 않다. 예를 들어, 해석함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소 해석학테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, 매끈한 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못한다. 예를 들어, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

에탈레 공간[편집]

에탈레 공간(영어: étalé space, 프랑스어: espace étalé)은 위상공간 X 위의 층 F에 대응되는 부속적인 공간이다. 에탈레 공간에서는 바탕 공간 X로 가는 국소 위상동형사상(local homeomorphism)이 있고, 사실은 이러한 국소 위상동형사상이 있는 위상 공간을 주는 것은 X위에서 층을 정의하는 것과 수학적으로 동치다.

층의 발달 초기에, 이미 학자들은 위상 공간 X위에 층 F를 정의하는 것은, 어떤 위상 공간 E와 어떤 연속 함수 EX를 주는 것과 같은 것이라는 것을 증명하였다. 좀 더 정확하게, 모든 층 F에 대하여, 다음 성질을 만족하는 위상공간 E가 존재한다.

어떻게 이 단면들의 층을 얻을 수 있는지는 위에서 이미 설명하였다.

한편, F는 앞에서 말한 위상공간 E위상동형 동치류를 유일하게 결정한다. 이는 F줄기(영어: stalk)들의 공간으로서, 각 줄기는 이산 위상이 주어지며, 이런 각 줄기의 서로소 합집합으로서 E를 얻을 수 있다. 물론 연속함수 π는 Fx를 점 x로 보내는 함수로 정의한다. 이 전체 공간 E의 위상은 F가 π의 단면들의 층이 되도록 고른다.

이 위상 공간 E를 써서 범주론으로 말하자면, X위의 층의 범주는 X로의 국소 위상동형사상이 있는 위상 공간의 범주와 동등하다. 또 다른 말로 하자면, 주어진 층 F에 대해서 위상 공간 E를 두 번째 범주의 표현 가능 함자(representable functor)로 이해할 수도 있다. 이러한 함자로 보는 관점은 1950년대에 시작되었다.

이 위상 공간 E를 층 \mathcal F에탈레 공간(프랑스어: espace étalé 에스파스 에탈레[*])라고 부른다. 이 용어는 로제 고드망(프랑스어: Roger Godement)이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 (Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux)에서 처음으로 썼는데, 당시 은 항상 이런 방식으로 정의되었다. 위와 같은 준층을 쓰는 층의 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

여기서의 "에탈레"(프랑스어: étalé)는 에탈 코호몰로지 등의 "에탈"(프랑스어: étale)과는 관계없는 개념이다.

층의 함자[편집]

위상공간 사이의 연속사상이 주어지면, 이로부터 그 위에 존재하는 층들의 사상을 유도할 수 있다. 이는 함자를 이룬다. 구체적으로, 위상공간 사이의 연속사상 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 위상공간 X 위의, 아벨 군 값을 가진 층과 층 사상들의 범주를 \operatorname{Sh}(X)라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

이들은 서로 수반 함자이다. 여기서 D유도 범주(derived category), R은 (우)유도 함자를 나타낸다.

직상과 역상[편집]

직상 함자 f_*는 다음과 같다. F\in\operatorname{Sh}(X)이라면, 열린 집합 V\subset Y에 대하여

f_*F(V)=F(f^{-1}(V))

이다. 역상 함자 f^*는 다음과 같다. G\in\operatorname{Sh}(Y)라면, X 위에 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다. U\subset X에 대하여,

U\mapsto\varinjlim_{V\supseteq f(U)}G(V)

여기서 \varinjlim귀납적 극한이다. 이 준층에 층화(영어: sheafification)를 가한 층을 역상 함자 f^*라고 한다.

콤팩트 지지 직상과 예외 역상[편집]

예외 역상 자체는 일반적으로 직접 존재하지 않으나, 그 유도 함자 Rf^!는 항상 존재한다.

층 코호몰로지[편집]

아벨 군 값을 갖는 층 \mathcal F\in\operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab})의 경우, 층 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이는 아벨 군 G 계수의 특이 코호몰로지를, 상수층 \underline G가 아닌 일반적인 층으로 일반화한 것이다. 이는 단면 함자의 오른쪽 유도 함자이다.

H^\bullet(X,\mathcal F)=R^i\Gamma(X,\mathcal F)

층 코호몰로지는 층에 담긴 일부 정보를 다루기 쉬운 아벨 군의 구조로 나타내며, 층들의 완전열에 대응하여 층 코호몰로지 군들의 긴 완전열이 존재한다.

[편집]

아주 많은 예들이 있다.

연속 함수의 층[편집]

위상공간 X의 각 열린 집합 U\subset X에 대하여 \mathcal C(U)를 실연속함수의 집합이라고 하자. 그렇다면 \mathcal CX 위에 층을 이룬다. 이 경우, 값을 가지는 범주는 집합의 범주 \operatorname{Set}, 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}, 또는 실벡터공간의 범주 \mathbb R-\operatorname{Vect}일 수 있다.

매끈한 함수의 층[편집]

매끈한 미분다양체 M 위에 층 \mathcal C^\infty를 다음과 같의 정의하자. 열린 부분집합 U\in\operatorname{Open}(M)에 대해 \mathcal C^\infty(U)는 모든 매끈한 실함수의 집합이다. 이는 아벨 군 또는 실수 벡터공간 값을 갖는 층을 이룬다.

\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\operatorname{Ab})
\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\mathbb R\text{-Vect})

올다발의 단면들의 층[편집]

위상공간 E,X 사이의 연속함수 \pi\colon E\to X가 주어졌다고 하자. (예를 들어, EX 위의 올다발일 수 있다.) 그렇다면 층 \mathcal F를 다음과 같이 정의하자.

\mathcal F(U)=\{f\in\mathcal C(U,E)|\pi\circ f=\operatorname{id}_U\}

이러한 f\pi단면이라고 한다. \mathcal F는 (아벨 군 또는 실수 벡터공간 값을 갖는) 층이며, \mathcal F의 에탈레 공간은 E이다.

유계 연속 함수의 준층[편집]

국소 콤팩트하지만 콤팩트하지 않은 공간 X 위에, 유계 연속함수들의 준층 \mathcal C_\text{bounded}을 생각하자. 이는 준층을 이루지만, 일반적으로 층을 이루지 못한다. 예를 들어, X 위의 비유계 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R를 생각하자. X에, 폐포가 모두 콤팩트한 열린 덮개 \{U_\alpha\}를 잡으면, f|_{U_\alpha}는 (콤팩트 공간 \bar U_\alpha 위의 연속함수이므로) 유계함수이지만, 이들을 이어붙인 함수 f는 유계함수가 아니다.

역사[편집]

층 이론이 정확히 언제, 누구에 의하여 제창되었는지는 말하기 쉽지 않지만, 해석적 연속의 개념의 발달과 더불어서 같이 발달된 것으로 생각된다. 아무튼, 코호몰로지 이론의 기초로부터 독자적인 이론으로 발달되는 데에는 대략 15년 가량의 시간이 걸렸다.

코호몰로지의 추상적 정의[편집]

층 이론은 대수적 위상수학에서, 코호몰로지의 개념을 일반화하기 위하여 정의되었다. 고전적으로 이는 베티 수로서 여겨졌으나, 대수적 위상수학의 여러 정의를 하기 위해서는 이를 아벨 군으로 대체하여야 한다는 것이 밝혀졌다.

1932년에 에두아르트 체흐체흐 코호몰로지의 개념을 정의하였고, 1936년에는 열린 덮개신경(nerve)을 정의하였다. 이것은 열린 덮개에 어떤 단체복합체(simplicial complex)를 대응시킨 것이다. 체흐의 정의는 이전의 정의들보다 더 추상적이다.

체흐와 제임스 워델 알렉산더, 안드레이 콜모고로프의 업적을 바탕으로, 1938년에 해슬러 휘트니공사슬 복합체를 사용하여 코호몰로지를 최초로 현대적으로 정의하였다.

이 코호몰로지 이론들은 (현대적인 용어로는) 상수층을 계수로 하고 있었다. 1943년에 노먼 스틴로드는 이를 일반화하여, 위치마다 계수가 바뀔 수 있는, 즉 국소 계수를 가지는 호몰로지에 대한 이론을 발표하였다.

층 이론의 시초[편집]

1945년에 장 르레제2차 세계 대전에서 포로 상태에 최초로 훗날 층 이론과 스펙트럼 열의 최초의 등장으로 여겨지게 되는 논문을 출판하였다. 이후 프랑스의 수학자들은 층 이론의 유용함을 곧 알아차렸다. 1947년 앙리 카르탕앙드레 베유에게 보낸 편지에서, 층 이론을 이용한 새로운 드람 정리의 증명 방법을 공개하였다.

르레는 열린 집합 대신에 닫힌 집합들을 이용하여 층을 정의하였는데, 이는 차후 카라파스(프랑스어: carapace)로 불리게 된다. 이 정의는 1948년 카르탕 세미나(Cartan seminar)에서 최초로 체계화되었다.

1950년 카르탕 세미나에서는 층 이론이 카라파스 대신 에탈레 공간을 사용하여 재정의되었다. 이 세미나에서는 줄기(영어: stalk) 및 지지집합을 가진 코호몰로지가 최초로 등장하였다. 또한, 연속함수의 스펙트럼 열이 정의되었다.

다변수 복소해석학과 대수기하학에서의 층[편집]

층 이론은 대수적 위상수학과 독립적으로, 다변수 복소해석학에서 또한 시초를 찾을 수 있다. 1950년에 오카 기요시다변수 복소해석학에서 아이디얼들의 층을 정의하였다. 이후 1951년에는 오카의 업적을 바탕으로, 카르탕 세미나에서 다변수 복소해석학의 A정리와 B정리가 증명되었다.

1953년 앙리 카르탕장피에르 세르벡터다발을 일반화한 연접층을 도입하였고, 해석적 연접층코호몰로지의 유한성 정리를 증명하였다. 또한 세르는 세르 쌍대성을 증명하였다. 1954년에 세르는 유명한 논문 <대수적 연접층>[1]에서 대수기하학에서 쓸 수 있는 층 이론을 처음으로 소개하였다. 이 논문에서의 아이디어는 프리드리히 히르체브루흐에 의해서 사용되어 더욱 발달된 후 차후 1956년에 <대수기하학에서의 위상수학적 방법>이라는 제목으로 출판되었고, 또한 1956년 오스카 자리스키가 대수적 층 이론에 대한 논문을 발표하였다.[2]

또한, 1958년 경 도입된 사토 미키오초함수(hyperfunction) 또한 자연스럽게 층 이론을 통해 정의할 수 있다는 것이 밝혀졌다.

그로텐디크의 유도 함자를 통한 정의[편집]

알렉산더 그로텐디크범주론호몰로지 대수학적인 기법으로, 층의 개념을 매우 일반적이고 추상적인 방법으로 재정의하였다. 1955년 캔자스 대학교에서의 강의에서 그로텐디크는 아벨 범주와 준층의 개념을 정의하였고, 단사 분해(injective resolution)의 개념을 도입하였다. 이로서, 임의의 위상공간 위에서 층의 코호몰로지 군은 유도 함자를 통해 자연스럽게 정의할 수 있게 되었다.

1957년에 그로텐디크는 유명한 도호쿠 대학 수학 저널 논문에서 호몰로지 대수학의 기초를 새롭게 썼다. 그로텐디크는 또한 그로텐디크 쌍대성(Grothendieck duality, 특이점을 가진 대수다양체에도 적용될 수 있는 세르 쌍대성의 일반화)를 증명하였다.

층 이론의 응용[편집]

1958년에 로제 고드망(영어: Roger Godement)의 표준적인 층 이론 교재가 출판되면서, 층 이론은 현대 수학의 주류 언어의 일부가 되었고, 더이상 대수적 위상수학에서뿐만이 아니라 대부분의 수학 분야에서 쓰이게 되었다.

차후 많은 시간이 지난 후, 층들의 범주에 대한 논리는 사실상 직관 논리(intuitionistic logic)임이 밝혀졌다. (이 관찰은 흔히 크립키-조얄 의미론(Kripke-Joyal semantics)로 불린다. 이 관찰은, 결국 층 이론은 그 바탕을 멀리 고트프리트 라이프니츠의 시대까지 역사를 거슬러 올라갈 수 있다는 것을 뜻하기도 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). Faisceaux algébriques cohérents. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915.
  2. (영어) Zariski, Oscar (1956년). Scientific report on the second summer institute, several complex variables. Part III. Algebraic sheaf theory. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 62 (2): 117-141. doi:10.1090/S0002-9904-1956-10018-9. MR0077995. Zbl 0074.15703. ISSN 0273-0979.
  • (프랑스어) Godement, Roger. 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》
  • (영어) Swan, R. G. (1964년). 《The Theory of Sheaves》. University of Chicago Press
  • (영어) Tennison, B. R. (1975년). 《Sheaf Theory》, London Math. Soc. Lecture Note 20. Cambridge University Press
  • (영어) Bredon, Glen E. (1997년). 《Sheaf Theory》, 2판
  • (영어) Mac Lane, S., I. Moerdijk (1992년). 《Sheaves in Geometry and Logic》. Springer
  • (영어) Hirzebruch, F. (1995년). 《Topological methods in algebraic geometry》. Springer
  • (영어) Kashiwara and P. Schapira, M. (1990년). 《Sheaves on Manifolds》

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]