층 (수학)

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수학에서, (層, 영어: sheaf 시프[*], 프랑스어: faisceau 페소[*])은 위상공간에서 국소적 구조를 대역적으로 붙이는 데 쓰이는 구조다. 대략, 위상공간 X위에 정의된 FX열린 부분 집합 U에 대하여 어떤 개체 F(U)를 대응시키고, 또한 F(U)들이 적절한 조건을 만족하면 이를 위상공간 X 전체로 (대역적으로) 조화롭게 확장시킬 수 있는 구조다. 조화로운 확장에 대한 조건이 없는 구조는 준층(準層, 영어: presheaf 프리시프[*], 프랑스어: préfaisceau 프레페소[*])이라고 부른다. 예를 들어, 위상공간 X의 열린 부분집합 U각각에, U위에서 정의된 실 계수 연속함수들의 집합 F(U)는 층을 이룬다.

개요[편집]

위상수학, 대수기하학, 복소기하학, 미분기하학 등에서 널리 쓰이는 개념으로, 기하학적 연구 대상위에서 부분적으로 정의된 대수학적인 데이터를 대역적으로 다룰 때 잃지 않기 위해 고안한 도구다. 즉, 어떤 대상이 이곳 저곳에서 이렇게 저렇게 스스로의 모습을 바꾸더라도 그 대상을 전체적인 숲을 보듯이 연구하기 위해서 고안되었다. 따라서 층은, 정의는 각각 지역에 따라 다르게 된 어떤 대상의 대역적인 모습을 볼 수 있게 해준다. 이런 대상들로는 위상공간, 해석함수, 미분다양체, 대수다양체 등이 있다.

예를 들어, 위상공간 X를 생각하고, 각 열린 부분집합 U에 대해서 F(U)를 U에서 R로 가는 모든 연속함수의 집합이라고 하자. 만약 VU의 열린 부분집합이라면, U위에서 정의된 모든 함수는 자연스럽게 V위에서도 정의가 된다. 따라서 이러한 정의역을 제한하는 방식으로 F(U) → F(V)라는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있다. 한편, 각 U위에서 정의된 것은 자연스럽게 풀로 붙이듯이 결합할 수도 있다. 자세히 설명하자면, U iU의 열린 부분집합의 모임으로서, 이것들의 합집합U가 되는 것이라고 하자. 각각의 i에 대해서 U i 위에서 정의된 연속함수 f iF(U i)이 주어져 있다고 하자. 함수 f if jUiUj의 교집합에서도 정의되어 있다. 만약 이 두 함수가 이 교집합에서 같은 함수를 정의한다면, 이 두 함수를 써 U iU j합집합 위에 정의된 새 확장 함수를 만들 수 있다. 이런 식으로, 이런 관계가 모든 i, j에 대해 성립한다면, 위의 함수의 모임 f i는 전체 공간 X위에서 정의된 유일한 연속함수 f를 정의하게 된다. 한편, 이 각각의 F(U)는 (ring)을 이루므로, 이 층 F는 "X위의 환의 층"이 된다.

또 다른 예를 들어보자. 이번에는 X미분다양체라고 하고, F를 다음과 같의 정의하자. 각각의 열린 부분집합 U에 대해서 F(U)를, U에서 R로 가는 모든 미분가능한 함수들의 집합이라고 하자. 여기서도 아까에서와 VU의 부분집합이면 제한 대응관계 F(U) → F(V)를 만들 수 있고, 위에서와 마찬가지로 풀로 붙이는 과정을 수행할 수 있다. 이 F도 ‘X위에서 정의된 환들의 층’이 된다. 그런데, 각각의 F(U)는 또한 R-벡터 공간이기도 하므로, 이 F를 ‘X위에서 정의된 R-벡터공간들의 층’으로 볼 수도 있다.

정의[편집]

층의 정의는 보통 두 단계로 이루어진다.

  1. 준층은 위상공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시키는 구조다. 즉, 어떤 위상공간 위에 주어진 국소적인 데이터를 나타낸다.
  2. 결합공리라는 조건을 만족시키는 준층이다. 결합공리는 국소적으로 주어진 데이터를 대역적으로 붙이는 데 필요한 조건이다.

준층[편집]

X위상공간이라고 하고, C를 어떤 범주라고 하자. (집합 범주, 가환군 범주, 가환환 범주, 어떤 가환환 위에서의 모듈 범주 등이 자주 쓰인다.) X 위에 정의된 C의 대상(object)의 준층(準層, 영어: presheaf, 프랑스어: préfaisceau) F는 다음으로 이루어진다.

  • X의 개개의 열린 부분 집합 U에 대해서 F(U)가 범주 C 안에서 주어져 있다.
  • 포함관계가 있는 두개의 열린 부분 집합 VU에 대해서 소위 제한사상(영어: restriction morphism)이라는 대응 resU,V : F(U) → F(V)가 범주 C사상으로 주어져 있고, 이들은 다음 두 성질을 만족해야 한다.
    • 각각의 열린 부분 집합 U에 대하여, resU, U=1F(U).
    • 세 열린 부분집합들 WVU에 대하여, resV,W ∘ resU,V = resU,W.

이 정의를 범주론으로 다시 다음과 같이 쓸 수도 있다. 우선, 위상 공간 X에 대해서, X의 열린 부분집합의 집합을 생각하자. 이들에 포함관계로 사상을 주면 이는 범주 T:=TopX를 이룬다. 즉, VU 이라면, Hom T (V, U) = { VU}이라는 포함관계로 구성된 사상의 집합을 만든다. 그러면, 어떤 범주 C에 대한 준층을 TopX 에서 C로의 반변함자로 정의할 수 있다.

FX위에서 정의된 C-준층이고, UX의 열린 부분집합일 때, F(U)의 원소들을 FU위에서의 단면(영어: section)이라고 부른다. 흔히 F(U)를 Γ(U, F)라고 쓰거나, 아니면 H0 (U, F)라고 쓰기도 한다.

결합공리와 층[편집]

UX의 임의의 열린 부분집합이라고 하고, U의 열린 부분집합의 모임 {Ui}이 주어져 있다고 하자. 이때 각 열린 집합 Ui에서 하나씩 단면 fi들이 "호환되다"는 말은 다음과 같다.

resUi,UiUj(fi) = resUj,UiUj(fj)

결합공리(영어: gluing axiom)란 다음과 같다.

U_i 위에 정의된 호환되는 단면들 {fi}이 주어지면, U위의 resU, Ui (f) = fi을 만족하는 단면 f가 유일하게 존재한다.

직관적으로, 결합공리는 조그마한 작은 열린 집합들에서 정의된 단면들을 적절하게 붙여서 더 큰 열린 집합에서의 단면을 만드는 작업이 가능하다는 조건이다. (層, 영어: sheaf, 프랑스어: faisceau)은 결합공리를 만족하는 준층이다.

층의 사상[편집]

X가 위상공간이고, F, G가 범주 C에 값을 가지는 층들이라고 하자. 이 때, G에서 F로의 층의 사상 φ는, 모든 열린 부분집합 U에 대해서 범주 C 안의 사상들 φU : G(U) → F(U)를 모은 것들 가운데, 제한 사상들 res와 호환되는 것들이다. 즉, 두 열린 부분집합 UV들에 대해서 다음의 그림이 가환하는 것이다.

SheafMorphism-01.png

앞에서, 층들은, 또한 TX에서 C로 가는 반변함자로 볼 수도 있다고 했다. 이 정의로 층 사이의 사상을 보면, 사실 층의 사상은 단지 함자자연변환에 지나지 않는다. 따라서 (충분히 작은 우주(universe)에서는) X위의 모든 C-층들은 그 자체가 다시 범주를 이룬다. 층의 동형사상은 이 범주에서의 동형사상이다. 이 정의를 조금 더 일반화하여, 서로 다른 위상공간 위에 정의된 층 사이에도 사상을 정의할 수 있다. X, Y가 두 개의 위상 공간이고, f : XY연속 함수라고 하자. FG를 각각 XY에서 정의되는 C-층들이라고 하자. 그러면, f에 대한 G에서 F로의 사상 φ라고 함은, Y의 모든 열린 부분 집합 U에 대해서 범주 C안의 사상들 φU : G(U) → F(f−1(U))을 모아 놓은 것들 중, 모든 Y의 열린 부분 집합 쌍 UV 에 대해서 다음의 그림이 가환그림이 되는 것을 뜻한다:

SheafMorphism-02.png

만약 여기에서 YX로 택하고 f를 자기 자신으로 보내는 항등함수로 택하면, 이전의 사상의 정의를 얻을 수 있다.

두 개의 위상공간에 대한 층 사이의 사상을 범주론으로 나타내는 것은 아까 했던 것보다는 조금 더 복잡하지만, 다음과 같이 하는 것이 가능하다. 우선, 집합론적인 문제를 피하기 위해서, 우리는 크기가 충분히 작은 어떤 우주 안에서만 작업을 하고 있다고 가정하자. Top을 이 우주 안에 있는 모든 위상공간들의 범주라고 정의하고, Cat를 이 우주 안에 있는 모든 범주들의 범주라고 정의하자. 물론 Top에서의 사상은 연속함수고, Cat에서의 사상은 자연변환이다. 이때에, Top에서 Cat으로의 [[함자 (수반변함자 Top을, 위상공간 X를 이것의 모든 열린 부분집합들의 범주 Top X으로 보내는 것으로 정의하자. 물론, 두 위상 공간 X, Y사이의 연속 함수 f: XY에 대해서 Top(f)는, Y의 개개의 열린 집합에 대해서 이것의 역상을 대응하는 것으로 정의된다. 그러면, FX위의 층, GY위의 층 이라고 하면, 반변함자 F를 반변함자 Top(f)와 합성하여 반변함자 TopYC를 얻는다. 그래서 f에 대한 G에서 F로의 사상이라는 것은, G에서 F ∘ Top(f)로 가는 자연변환을 뜻하는 것으로 정의한다.

이러한 사상은 층뿐만 아니라 준층에서도 같은 방식으로 정의할 수 있다.

줄기와 싹[편집]

X가 위상공간이고, xX의 한 점이라고 하자. FX위에서 주어진 어떤 층이라고 하자. 이때에, 우리는 층 F가 점 x 주변에서는 어떻게 행동하는지 다루려고 한다. 해석학적인 용어로 설명을 하자면, x로 계속 가까이 가까이 갈때에 F가 어떻게 행동하는지 알고 싶다는 것이다. 물론 일반적으로 층이론이 가장 널리 쓰이는 대수 기하학 같은 학문에서는 이러한 개념은 쓸모가 없다. 대수 기하학에서 쓰이는 위상은 너무나 엉성하여 이런 극한을 찾을 수 없기 때문이다. 그래서 대신 귀납적 극한이라는 개념을 쓴다. 즉, x주변의 모든 열린 부분집합 N에 대해서 F(N)를 고른 뒤, 이들에 대해서 부분 순서(partial order)를 준 것에 대하여, 범주론적인 관점에서의 공극한(colimit)을 택한다. 이러한 극한을 일반적으로 Fx처럼 쓰고, 이것을 Fx에서의 줄기(영어: stalk)라고 부른다. 만약 FC-층이라면, Fx가 존재한다는 가정 아래 FxC의 객체가 되어야 한다. 이 극한이 항상 존재하지는 않지만, 일반적으로 많이 쓰이는 경우인 C가환군이나 가환환의 범주인 경우에는 존재한다.

정의에 의해서, 점 x를 포함하는 임의의 열린 부분 집합 U에 대해서, 자연스러운 사상 F(U) → Fx가 존재한다. 이때에, U위의 F의 단면 f에 대해서, 이 사상을 적용하여서 얻어지는 Fx의 원소를 우리는 fx에서의 (영어: germ)이라고 부른다.

이 싹의 개념은, 수학의 다른 분야에서 쓰이는 의 개념을 일반화한 것이다. 직관적으로 말하자면, fx에서의 이라고 하는 것은, 단면 fx에서의 지역적인 모든 행동에 대한 정보를 담고 있는 것이다. 즉, 이것은 일종의 fx에서의 "영혼"이라고 할 수 있다.

어떠한 층들에 대해서는 이런 싹은 아주 잘 작동하고 좋은 정보를 준다. 예를들어서, 해석 함수의 어떤 점에서의 싹은, 그 점 주변에서의 그 함수의 행동을 완전하게 결정해 버린다. 이것은 복소 해석학테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 그러나, 어떠한 경우에는 이러한 싹은 아무런 유용한 정보를 주지 못하는 경우도 있다. 대표적인 이런 예로, 무한히 미분가능한 매끈한 함수에 대해서 어떤 점에서의 싹을 보는 경우, 이 주변에서의 함수의 행동에 대해서 이 싹이 아무런 정보도 주지 못하는 경우가 많다. 구체적으로 예를들자면, 어떤 매끈한 범프 함수(bump function)을 생각하면, 어떤 점 주변에서 이 함수가 완전히 상수 함수인 경우가 있다. 그러나, 이 범프 함수가 어떤 점 주변에서 상수 함수라는 정보가, 어디에서부터 범프가 시작되는 것에 대해서는 아무것도 알려줄 수가 없고, 심지어는 이 정보만 가지고는 이것이 애초에 상수 함수였는지 범프 함수였는지조차도 구별해내는 게 불가능하다.

에탈레 공간[편집]

층의 발달 초기에, 이미 학자들은 위상 공간 X위에 층 F를 정의하는 것은, 어떤 위상 공간 E와 어떤 연속 함수 EX를 주는 것과 같은 것이라는 것을 증명하였다. 좀 더 정확하게, 모든 층 F에 대하여, 다음 성질을 만족하는 위상공간 E가 존재한다.

어떻게 이 단면들의 층을 얻을 수 있는지는 위에서 이미 설명하였다.

한편, F는 앞에서 말한 위상공간 E위상동형 동치류를 유일하게 결정한다. 이는 F줄기(영어: stalk)들의 공간으로서, 각 줄기는 이산 위상(discrete topology)이 주어지며, 이런 각 줄기의 서로소 합집합으로서 E를 얻을 수 있다. 물론 연속함수 π는 Fx를 점 x로 보내는 함수로 정의한다. 이 전체 공간 E의 위상은 F가 π의 단면들의 층이 되도록 고른다.

이 위상 공간 E를 써서 범주론으로 말하자면, X위의 층의 범주는 X로의 국소 위상동형사상이 있는 위상 공간의 범주와 동등하다. 또 다른 말로 하자면, 주어진 층 F에 대해서 위상 공간 E를 두 번째 범주의 표현 가능 함자(representable functor)로 이해할 수도 있다. 이러한 펑터로 보는 관점은 1950년대에 시작되었다.

이 위상 공간 E를, 층 F에탈레 공간(프랑스어: espace étalé 에스파스 에탈레[*])라고 부른다. 이 용어는 로제 고드망(프랑스어: Roger Godement)이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 (Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux)에서 처음으로 썼는데, 당시 은 항상 이런 방식으로 정의되었다. 위와 같은 준층을 쓰는 층의 정의는 비교적 최근에 등장하였다. 여기서의 "에탈레"(프랑스어: étalé)는 에탈 코호몰로지 등의 "에탈"(프랑스어: étale)과는 관계없는 개념이다.

층의 함자[편집]

위상공간 사이의 연속사상이 주어지면, 이로부터 그 위에 존재하는 층들의 사상을 유도할 수 있다. 이는 함자를 이룬다. 구체적으로, 위상공간 사이의 연속사상 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 위상공간 X 위의, 아벨 군 값을 가진 층과 층 사상들의 범주를 \operatorname{Sh}(X)라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

이들은 서로 수반 함자이다. 여기서 D유도 범주(derived category), R은 (우)유도 함자를 나타낸다.

직상과 역상[편집]

직상 함자 f_*는 다음과 같다. F\in\operatorname{Sh}(X)이라면, 열린 집합 V\subset Y에 대하여

f_*F(V)=F(f^{-1}(V))

이다. 역상 함자 f^*는 다음과 같다. G\in\operatorname{Sh}(Y)라면, X 위에 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다. U\subset X에 대하여,

U\mapsto\varinjlim_{V\supseteq f(U)}G(V)

여기서 \varinjlim귀납적 극한이다. 이 준층에 층화(영어: sheafification)를 가한 층을 역상 함자 f^*라고 한다.

콤팩트 지지 직상과 예외 역상[편집]

예외 역상 자체는 일반적으로 직접 존재하지 않으나, 그 유도 함자 Rf^!는 항상 존재한다.

일반화[편집]

가환군의 층의 경우, 층 코호몰로지를 정의할 수 있다. 물론 층에 모든 정보가 담겨 있겠지만, 이것을 바로 꺼내기가 복잡하므로, 이러한 코호몰로지 군은 더 구체적인 정보를 포함하고 있다. 층 코호몰로지를 정의하는 데에 있어서 가장 중요한 것은, 층들의 완전열(exact sequence)에 대응하는 긴 코홀모로지 완전열을 생성해 내는 것이다.

대수 기하학에서의 경우에는, 이 문제는 처음으로 장피에르 세르가 시도하였다. 세르는 체흐 코호몰로지를 약간 변형하여 이 이론을 시도하였다. 이것은 어느 정도 잘 먹혀 들어갔지만, 이 방법으로는 많은 좋은 결과들을 증명하지 못하였다. 그 뒤 알렉산더 그로텐디크유도 함자의 개념을 도입하여 더 강력하고 일반적인 결과들을 증명하였다.

한편, 그로텐디크는 그에 더해서, 코호몰로지 이론을 더 발달 시키면, 베유 가설(Weil conjecture)을 증명할 수도 있으리라 생각하여, 어떤 공간 X에 대해서 을 정의하는 데 필요한 조건들을 세심하게 분석하여 그로텐디크 위상이라는 혁신적인 개념을 도입하였다. 이는 사실 공간에 주어지는 것이 아니라, 그 공간에 연관된 범주에 정의한 위상이다. 어떤 범주가 그로텐디크 위상을 갖는 경우, 이를 사이트(site)라고 부른다. 이 관점은 훗날 에탈 코호몰로지, fppf 위상, fpqc 위상, 니스네비치 위상(Nisnevich topology) 등, 현대 대수기하학에서 가장 중요한 도구들을 정의하는 밑거름이 되었다. 이 많은 결과들 중 대부분을 그로텐디크라는 천재 한 명이 했다고는 믿기 힘들 정도로, 이 방법은 기존의 대수기하학을 완전히 바꾸었다.

[편집]

아주 많은 예들이 있다.

  • 위상공간 X위에서의 연속함수의 층 (개요 참조)
  • 미분다양체 M위에서의 미분가능한 함수들의 층 (개요 참조)
  • 미분다양체 M위에서의 벡터 장들의 층
  • E, X가 위상공간들이고, π : EX 가 연속함수라고 하자. 이때에, 여기에 대응하는 중요한 층을 다음과 같이 만들 수 있다. F(U) 를 모든 연속함수들 f : UE 중에서 π(f(x)) = x (xU의 점)를 만족하는 것들의 집합이라고 하자. 흔히 이런 함수 f를 π의 단면이라고 부른다. 이 F가 층을 이룬다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다. 사실, X위의 임의의 층 F를 이런 식으로도 만들 수 있다. 이를 층의 에탈레 공간이라고 부르며, 아래에서 자세히 다룬다.

열린 부분집합 U가 전체공간 X인 경우, F(X)의 원소들을 대역 단면(영어: global section)이라고 부른다. 이 용어는 위의 예제에서 유래하였다.

  • 올다발은 층의 아주 좋은 예가 된다.

역사[편집]

층 이론이 정확히 언제, 누구에 의하여 제창되었는지는 말하기 쉽지 않지만, 해석적 연속의 개념의 발달과 더불어서 같이 발달된 것으로 생각된다. 아무튼, 코호몰로지 이론의 기초로부터 독자적인 이론으로 발달되는 데에는 대략 15년 가량의 시간이 걸렸다.

다음의 목록은 대략적으로 층 이론의 개발에 영향을 준 주요한 수학적 업적들의 연보이다.

이 1950년대 말의 시점에서 층 이론은 이미 현대 수학의 주류 언어의 일부가 되었고, 더이상 대수적 위상수학에서뿐만이 아니라 대부분의 수학 분야에서 쓰이게 되었다. 차후 많은 시간이 지난 후, 층들의 범주에 대한 논리는 사실상 직관 논리(intuitionistic logic)임이 밝혀졌다. (이 관찰은 흔히 크립케-조얄 의미론(Kripke-Joyal semantics)로 불린다. 이 관찰은, 결국 층 이론은 그 바탕을 멀리 고트프리트 라이프니츠의 시대까지 역사를 거슬러 올라갈 수 있다는 것을 뜻하기도 한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). Faisceaux algébriques cohérents. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915.
  2. (영어) Zariski, Oscar (1956년). Scientific report on the second summer institute, several complex variables. Part III. Algebraic sheaf theory. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 62 (2): 117-141. doi:10.1090/S0002-9904-1956-10018-9. MR0077995. Zbl 0074.15703. ISSN 0273-0979.
  • Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Roger Godement
  • The Theory of Sheaves (University of Chicago Press,1964) R. G. Swan (concise lecture notes)
  • Sheaf Theory (London Math. Soc.Lecture Note Series 20, Cambridge University Press, 1975) B. R. Tennison (pedagogic treatment)
  • Sheaf Theory, 2nd Edition (1997) Glen E. Bredon (oriented towards conventional topological applications)
  • Sheaves in Geometry and Logic (Springer-Verlag, 1992) S. Mac Lane and I. Moerdijk (category theory and toposes emphasised)
  • Topological methods in algebraic geometry (Springer-Verlag, Berlin, 1995) F. Hirzebruch (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
  • Sheaves on Manifolds (1990) M. Kashiwara and P. Schapira (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)