아벨 범주

수학의 범주론에서 아벨 범주(abelian category)는 대상과 사상들로 덧셈을 할 수 있고, 핵과 여핵이 존재하여 좋은 성질을 갖는 범주이다. 대표적인 예로는 아벨 군의 범주 Ab가 있다.

정의

범주가 다음의 조건들을 만족하면 이를 아벨 범주라 한다.

• 영 대상이 존재한다.
• 당김과 밀어냄이 언제나 존재한다.
• 모든 단사사상과 전사사상이 정규사상이다.

피터 프레이드의 정리에 따르면, 위의 정의는 아래의 단계적 정의와 동치이다.

• 아벨 군의 모노이드 범주 위에서 풍성한 범주를 원가법적 범주라 한다. 이는 모든 사상집합이 아벨 군이며 사상의 합성이 이중선형임을 말한다.
• 원가법적 범주에서 대상들로 이루어진 임의의 유한집합이 이중곱을 가지면 이를 가법적 범주라 한다. 이는 유한 개의 대상들에 대해 직합과 직적이 존재함을 말한다.
• 가법적 범주에서 모든 사상이 핵과 여핵을 가지면 이를 원아벨 범주라 한다.
• 마지막으로, 원아벨 범주에서 모든 단사사상과 전사사상이 정규사상이면 이를 아벨 범주라 한다.