아벨 범주

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수학범주론에서, 아벨 범주(Abel範疇, 영어: Abelian category)는 아벨 군의 범주 또는 주어진 환에 대한 가군의 범주와 유사한 성질을 가진 범주이다. 아벨 범주에서는 호몰로지 대수학의 여러 개념들을 정의할 수 있다.

정의[편집]

범주 \mathcal C에 대하여, 다음 두 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족하는 범주를 아벨 범주라 한다.

  • \mathcal C는 다음과 같은 구조들을 가진다.
  • \mathcal C는 다음 성질들을 만족시킨다.
    • (준가법성 영어: preadditivitiy) \mathcal C아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}에 대하여 풍성하다. 즉, 모든 A,B\in\mathcal C에 대하여, \hom(A,B)는 아벨 군이며, 임의의 A,B,C\in\mathcal Ch,k\colon A\to B, f,g\colon B\to C에 대하여 (f+g)(h+k)=fh+gh+fk+gk이다.
    • (가법성) \mathcal C의 임의의 유한 개의 원소 A_1,\dots,A_n에 대하여, A_1\times A_2\times\cdots\times A_n쌍대곱 A_1\coprod A_2\coprod\cdots\coprod A_n이 항상 존재한다. (준가법성에 따라서, 유한 곱은 유한 쌍대곱과 같다.)
    • (준아벨성 영어: pre-Abelian) 모든 사상여핵을 가진다.
    • (아벨성) 모든 단사사상전사사상정규사상이다.

두 번째 정의에서, 처음 세 조건만을 만족시키는 범주를 준아벨 범주(영어: pre-Abelian category, 처음 두 조건만을 만족시키는 범주를 가법 범주(영어: additive category), 처음 조건만을 만족시키는 범주를 준가법 범주(영어: preadditive category)라고 한다.

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아벨 군들과 군 준동형사상들의 범주 Ab는 아벨 범주의 가장 대표적인 예이다. 이는 아벨 범주의 공리들을 다음과 같이 만족시킨다.

  • Ab에서 영 대상자명군 \{0\}이다.
  • Ab에서 이진 곱과 이진 쌍대곱은 일치하며, 곱군 G\times H이다. (Ab에서 무한개의 곱과 무한개의 쌍대곱은 서로 다를 수 있다.)
  • 모든 단사사상이 정규사상임은 아벨 군의 모든 부분군이 정규부분군임을 의미한다.
  • 모든 전사사상이 쌍대정규사상임은 다음과 같다. 임의의 전사 군 준동형사상 \phi\colon G\to H몫군 H\cong G/(\ker\phi)로 나타낼 수 있다. 즉, \phi\ker\phi\hookrightarrow G여핵이다.

보다 일반적으로, 1을 가진 환 R에 대한 좌가군들과 가군 준동형사상들의 범주 _R\operatorname{Mod} (또는 우가군들의 범주 \operatorname{Mod}_R)은 아벨 범주를 이룬다. 아벨 군은 정수 \mathbb Z에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다.

X위상공간이라고 하자. 그렇다면, 이 위에 아벨 군 값을 가진 들의 범주 \operatorname{Sh}_X^{\operatorname{Ab}} 또한 아벨 범주를 이룬다. (보다 일반적으로, 이는 그로텐디크 위상에 대하여 정의할 수 있다.) 반면, 위상공간 위에 존재하는 벡터다발들의 범주는 아벨 범주가 아니다. 이는 이 아닌 단사사상이 존재하기 때문이다.

역사[편집]

데이비드 북스바움(영어: David Buchsbaum)[1]알렉산더 그로텐디크[2]가 1950년대에 도입하였다. 이들은 층 코호몰로지군 코호몰로지를 일관적으로 다루기 위하여 아벨 범주를 정의하였다. 즉, 군의 가군의 범주와 아벨 군 값을 가진 의 범주 둘 다 아벨 범주를 이룬다.

그로텐디크의 도호쿠 대학 수학저널에 출판된 논문은 도호쿠 논문이라고 불리며, 수학사에서 가장 유명한 논문 가운데 하나다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Buchsbaum, David A. (1955년). Exact categories and duality. 《Transactions of the American Mathematical Society》 80 (1): 1–34. doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. JSTOR 1993003. MR0074407. ISSN 0002-9947.
  2. (프랑스어) Grothendieck, Alexander (1957년). Sur quelques points d’algèbre homologique. 《The Tohoku Mathematical Journal. Second Series》 9: 119–221. doi:10.2748/tmj/1178244839. MR0102537. ISSN 0040-8735.