뱀 보조정리

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수학호몰로지 대수학 등의 분야에서 뱀 보조정리(snake lemma)는 긴 완전열을 만들기 위해 사용되며, 임의의 아벨 범주에서 성립하는 명제이다. 이를 이용해 만들어낸 준동형사상을 연결 준동형사상(connecting homomorphism)이라고 부른다.

보조정리의 내용[편집]

다음과 같은 아벨 범주(예: 아벨군의 범주, 벡터공간의 범주)의 가환그림을 생각해 보자:

SnakeLemma01.png

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상(zero object)이다. 이때, 뱀 보조정리에 따르면 다음과 같이 a, b, c의 여핵들로 이루어진 완전열이 존재한다:

\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c

또한, f가 단사인 경우 ker a → ker b도 단사이며, g'가 전사인 경우 coker b → coker c도 전사이다.

명칭의 유래[편집]

위의 두 그림을 아래와 같이 함께 나타내면 '뱀 보조정리'라는 이름이 붙여진 이유를 알 수 있다:

SnakeLemma03.png