가군층

대수기하학에서 가군층(加群層, 영어: sheaf of modules)은 어떤 환 달린 공간 위에, 어떤 열린집합 위에 달린 가환환에 대한 가군을 이루는 아벨 군으로 구성된 층이다.

정의

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 가군층은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $X$ 위의 아벨 군의 층 ${\mathcal {F}}$
• 각 열린 집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\Gamma (U;{\mathcal {F}})$ 위의 $\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$-가군의 구조

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\mathcal {F}}$의 제약 사상은 ${\mathcal {O}}_{X}$의 제약 사상과 호환된다. 즉, 임의의 열린 집합 $V\subseteq U\subseteq X$에 대하여, 제약 사상 $\operatorname {res} _{UV}^{{\mathcal {O}}_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\to \Gamma (V;{\mathcal {O}}_{X})$, $\operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {F}})\to \Gamma (V;{\mathcal {F}})$이 주어졌을 때, 임의의 $f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$, $s\in \Gamma (U,{\mathcal {F}})$에 대하여, $\operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}(fs)=\operatorname {res} _{UV}^{{\mathcal {O}}_{X}}(f)\operatorname {res} _{UV}^{\mathcal {F}}(s)$이다.

성질

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 가군층의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 또한, 이 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 층 코호몰로지 $H^{\bullet }(X;-)$를 정의할 수 있다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니다.)

예

위상 공간 $X$ 위에, 정수환의 상수층 ${\underline {\mathbb {Z} }}$을 주었을 때, $(X,{\underline {\mathbb {Z} }})$ 위의 가군층은 $X$ 위의 아벨 군의 층과 같다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

같이 보기

• 아이디얼 층
• D가군
• 분수 아이디얼
• 해석적 벡터다발

외부 링크

• “Sheaf of modules”. 《nLab》 (영어). 
• Siegel, Charles (2008년 4월 7일). “Sheaves of modules”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).