해석적 벡터다발

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수학에서, 해석적 벡터다발(영어: holomorphic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영사상이 정칙함수인 복소 벡터다발이다.

정의[편집]

M복소다양체이고, 그 위에 \pi\colon E\to M이 복소 벡터다발이라고 하자. 그렇다면 E 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 \pi가 복소다양체 사이의 정칙함수라면 E해석적 벡터다발이라고 한다.

해석적 단면[편집]

해석적 벡터다발 \pi\colon E\to M의 단면 s는 함수 s\colon M\to E로 생각할 수 있다. 만약 이 함수가 모든 점에서 두 복소다양체 사이의 정칙함수라면 sE해석적 단면(영어: holomorphic section)이라고 한다. 해석적 벡터다발 E의 해석적 단면들의 모임은 국소자유(영어: locally free sheaf)을 이루며, \mathcal O(E)라고 쓴다. 만약 E가 자명한 복소 선다발 \underline{\mathbb C}라면, \mathcal O(\underline{\mathbb C})M구조층(영어: structure sheaf) \mathcal O_M과 같다.

해석적 단면의 코호몰로지[편집]

해석적 벡터다발 E\to M코호몰로지 H^\bullet(-,\mathcal O(E))는 그 해석적 단면들의 층 \mathcal O(E)층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

  • H^0(M,\mathcal O(E))E의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
  • H^1(M,\mathcal O(E))는 자명 선다발E에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터다발 F들로 구성된다.
0\to E\to F\to M\times\mathbb C\to0