레비치비타 접속

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레비치비타 접속(Levi-Civita接續, 영어: Levi-Civita connection)은 일반화 리만 다양체계량 텐서로 정의할 수 있는 아핀 접속이다. 이탈리아의 수학자 툴리오 레비치비타의 이름을 땄다.

정의 및 성질[편집]

일반화 리만 다양체 (즉, 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체) (M,g)를 생각하자. 그렇다면 M레비치비타 접속 \nabla은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 아핀 접속이다.

이 두 성질을 만족하는 아핀 접속은 유일하다는 사실을 보일 수 있다. 레비치비타 접속의 성분을 직접 계량 텐서와 그 도함수로 적으면 다음과 같다.

(\nabla_XY)^i=X^k(\partial_kY^i+\Gamma^i_{jk}Y^j).

여기서 \Gamma^i_{jk}는 (제2종) 크리스토펠 기호라 불리며, 다음과 같다.

 \Gamma_{jk}^i = \frac{1}{2}\sum_r g^{ir} \left(\partial _j g_{rk} + \partial _k g_{jr} - \partial _r g_{jk}\right) .

비틀림의 부재에 따라, 크리스토펠 기호는 \Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}를 만족한다.

같이 보기[편집]