고윳값

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위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 고유벡터가 되고 붉은색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고윳값은 1이다.

선형대수학에서, 고유벡터(固有vector, 영어: eigenvector 아이건벡터[*])는 어떤 선형 변환이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 영벡터가 아닌 벡터를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 고윳값(固有값, 영어: eigenvalue 아이건밸류[*])이라고 한다. 선형변환은 대개 고유벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고윳값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

역사와 어원[편집]

오늘날 선형대수학에 속하는 고윳값과 고유벡터의 개념은 원래 19세기에 이차형식미분 방정식 이론으로부터 발달하였다. 19세기에 오귀스탱 루이 코시고전역학에서 관성 모멘트주축의 개념을 추상화하여 이차곡면을 분류하였고, 고윳값의 개념을 도입하였다. 코시는 오늘날 고윳값에 해당하는 개념을 "특성근"프랑스어: racine caractéristique 라신 카락테리스티크[*]이라고 불렀다. 또한, 코시는 대칭행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 사실을 발견하였다. 1885년 샤를 에르미트는 이를 확장하여, 일반적으로 에르미트 행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 것을 보였다.

20세기 초에 다비트 힐베르트가 오늘날 쓰이는 용어인 "고유벡터"(독일어: Eigenvektor 아이겐벡토어[*])와 "고윳값"(독일어: Eigenwert 아이겐베르트[*])을 도입하였다. (그러나 수학 외의 분야에서 헤르만 폰 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) 독일어: eigen 아이겐[*]은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

정의[편집]

k에 대한 벡터공간 V 위의 선형변환 T\colon V\to V가 주어졌다고 하자. 그렇다면 T고유벡터는 다음 두 성질을 만족시키는 벡터 v\in V이다.

  1. v\ne0
  2. 어떤 \lambda\in k에 대하여, Tv=\lambda v

이 경우 \lambda를 고유벡터 v고윳값이라고 한다. 즉, 고유벡터는 0이 아니고, 선형변환 T에 의해 단순히 그 길이가 \lambda배 증가되는 벡터이다. 만약 V가 일종의 함수공간인 경우, 고유벡터 대신 고유함수(영어: eigenfunction)라는 용어를 사용하기도 한다.

선형변환 T고유기저(固有基底, 영어: eigenbasis)는 T의 고유벡터들로 구성된 V기저이다. 고유기저는 항상 존재하지 않지만, 예를 들어 V가 유한차원 복소벡터공간이고 T에르미트 연산자인 경우 존재한다.

선형대수 T주고윳값(主固有값, 영어: principal eigenvalue)은 최대의 고윳값이고, 주고유벡터(主固有vector, 영어: principal eigenvector)는 주고윳값에 대응되는 고유벡터이다. V가 유한차원이 아니면 주고윳값이 존재하지 않을 수 있다.

중복도[편집]

고윳값 \lambda고유공간(固有空間, 영어: eigenspace) V_\lambda은 이 고윳값을 가지는 고유벡터들과 0으로 구성되는 부분벡터공간이다.

V_\lambda=\{v\in\Lambda\colon Tv=\lambda v\}\subset V

고윳값 \lambda기하적 중복도(幾何的重複度, 영어: geometric multiplicity)는 그 고유공간의 차원이다. 만약 V가 유한 차원 벡터공간일 경우, 고윳값 \lambda대수적 중복도(代數的重複度, 영어: algebraic multiplicity)는 고유다항식 \det(T-x)의 근 x=\lambda의 중복도이다.

고윳값 방정식[편집]

다음 방정식이 참이면 \mathbf v_\lambda는 고유벡터이고 \lambda는 그에 해당하는 고윳값이다.

T(\mathbf{v}_\lambda)=\lambda\,\mathbf{v}_\lambda

이때 T(\mathbf v_\lambda)\mathbf v_\lambda에 변환 T를 행해 얻어진 벡터이다.

T선형 변환이라고 가정하자. (즉, 모든 스칼라 a, b와 벡터 \mathbf v, \mathbf w에 대해 T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})이다. 그러면 T\mathbf v행렬 A_T와 열벡터 \mathbf v_\lambda로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고윳값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

A_T\,v_\lambda=\lambda\,v_\lambda

이 방정식에서 \lambda\mathbf v_\lambda를 미지수로 놓아 연립방정식을 풀면 고윳값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고윳값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고윳값 방정식을 미분방정식의 형태로 쓸 수 있다. T를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 고유함수라 불린다. 미분은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 선형 변환이다.

 \displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt}

(f(t)g(t)미분가능한 함수이고 ab상수이다.)

t에 대해 미분하면 고유함수 h(t)는 고윳값 방정식을 만족한다.

\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h

이때 \lambda는 고유함수에 해당하는 고윳값이다. 만약 \lambda = 0 이면 이 함수는 상수함수이다.

고윳값 방정식의 해는 h (t) = \exp (\lambda t), 즉 지수함수이다. \lambda는 임의의 복소수일 수 있다.

[편집]

회전[편집]

삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고윳값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터의 집합이다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고윳값이 1뿐이므로 실수인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한 시간 동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때, 고유벡터는 지구의 자전축에 평행한 벡터이다. 자전축이 커지거나 작아지지 않으므로 고윳값은 1이다.

확대[편집]

얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 확대시키자. 이때 중심으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고윳값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이다.

성질[편집]

실수 또는 복소수 (유한) n\times n 정사각행렬 M의 고윳값들의 (대수적 중복도를 감안한) 중복집합\operatorname{Spec}(M)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}이라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

  • n\times n 정사각행렬의 고윳값들의 (대수적 중복도를 고려한) 수는 n이다.
|\operatorname{Spec}(M)|=n
  • 정사각행렬의 대각합은 그 고윳값들의 합이며, 정사각행렬의 행렬식은 고윳값들의 곱이다.
\operatorname{tr}M=\sum\operatorname{Spec}(M)
\det M=\prod\operatorname{Spec}(M)
  • 모든 양의 정수 k에 대하여, M^k의 고윳값은 M의 고윳값들의 k제곱이다. 만약 M가역행렬이라면, 이는 모든 정수 k에 대해서도 성립한다.
\operatorname{Spec}(M^k)=\operatorname{Spec}(M)^k=\{\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dots,\lambda_n^k\}
MM^*=M^*M=1\implies|\lambda_1|=|\lambda_2|=\cdots=1
M=M^*\implies\lambda_1,\lambda_2,\dots\in\mathbb R
  • 삼각행렬의 고윳값들은 그 대각선의 원소들이다.
(i<j\implies M_{ij}=0)\implies\operatorname{Spec}(M)=\{M_{11},M_{22},\dots,M_{nn}\}

계산[편집]

어떤 주어진 행렬의 고윳값을 구하고자 할 때, 행렬의 차원이 작다면 특성 방정식을 사용해 고윳값을 쉽게 구할 수 있다. 하지만 커다란 행렬에 대해서는 특성 방정식이 복잡해지므로 대신 수치적 방법을 사용해 고윳값을 근사적으로 구하기도 한다.

특성 방정식[편집]

정방행렬의 고윳값을 구하는데는 특성 방정식이 매우 유용하게 쓰인다. \lambda를 행렬 A의 고윳값이라고 한다면, v에 대한 방정식 :(A - \lambda I) v = 0는 영이 아닌 해를 갖는다. (I는 단위 행렬) 이 해가 바로 고유벡터이며, 행렬식을 이용해 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

\det(A - \lambda I) = 0

여기서 좌변의 식이 바로 행렬 A의 특성 방정식이다. 행렬의 모든 고윳값은 위 식의 해를 구하면 얻을 수 있는데, 만약 An×n 행렬이라면 위 식은 최대 n개의 해를 갖는 방정식이다.

위 식을 이용해서 \lambda를 구한 다음에는, 고유벡터를 구하기 위해 다음 식을 사용한다.

(A - \lambda I) v = 0

실수의 고윳값을 갖지않는 행렬의 예로는 시계방향으로 90도 회전하는 변환 행렬을 들 수 있다. 즉,

\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}

와 같이 표현되는 행렬인데, 이 행렬의 특성 방정식은 \lambda^2+1이며 고윳값을 구하게 되면 켤레 복소수 \pm i를 해로 구할 수 있다. 물론 이 고윳값과 연관된 고유벡터도 허수 값을 갖는다.

작은 행렬의 고윳값[편집]

1×1 행렬[편집]

1×1 행렬의 경우 고윳값은 자명하다. 행렬

\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}

의 고윳값은 a이며, 모든 0이 아닌 벡터가 고유벡터이다.

2×2 행렬[편집]

2×2 행렬의 고윳값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

A = \begin{pmatrix} a  & b \\ c & d \end{pmatrix}

이라 하면, 특성 방정식

\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix}=\det\left(A - \lambda I_{2}\right)  = \lambda^2- \lambda\operatorname{tr}A+ \det A=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)

이다. 따라서 A의 고윳값은 다음과 같다.

 \lambda =  \frac12 \left(\operatorname{tr}A\pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4 \det A} \right)=\frac{a + d}{2}  \pm \sqrt{\frac{(a + d)^2}{4} + bc - ad} = \frac{a + d}{2}  \pm \frac{\sqrt{4bc + (a - d)^2  }}{4}

특히, 행렬식이 0이지만 대각합이 0이 아닌 2×2 행렬은 0을 고윳값으로 가진다. 예를 들어, 다음 행렬의 고윳값은 0과 a^2 + b^2이다.

\begin{pmatrix} a^2  & a b \\ a b & b^2 \end{pmatrix}

바깥 고리[편집]