대각합

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대각합이란 선형대수학에서 $n \times n$ 행렬 A의 대각선 성분들의 합을 일컫는 말이다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,$

이 때, $a i j$ 는 행렬 A의 i번째 행, i번째 열에 위치한 성분을 의미한다. 또한 행렬의 대각합은 고유값들의 합과 같다.

[편집] 성질

대각합은 선형성을 갖는다. 임의의 $n$ 차 정사각행렬 $A, B$ 과 스칼라 $r$ 에 대해여

$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$

$\operatorname{tr}(rA) = r \cdot \operatorname{tr}(A)$

이 성립함을 알 수 있다.

임의의 행렬 $A$ 의 전치행렬에서도 대각선 성분은 변하지 않기 때문에, 전치행렬의 대각합은 $A$ 의 대각합과 같다.

$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^\mathrm{T})$

만약 $A$ 가 $m \times n$ 행렬이고, $B$ 가 $n \times m$ 행렬일 때, $A B$ 와 $B A$ 는 각각 $m$ 차, $n$ 차 정사각 행렬이 된다. 이때 다음 등식이 성립한다.

$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$

이는 행렬의 곱셈을 이용하면 증명할 수 있다.

$\mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^n (BA)_{jj} = \mathrm{tr}(BA)$

[편집] 참고 도서

Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong (2004). Linear Algebra, 2nd Edition (영어), Birkhauser. ISBN 0817642943

이 글은 대수학에 관한 토막글입니다. 서로의 지식을 모아 알차게 문서를 완성해 갑시다.

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[편집] 성질

[편집] 참고 도서

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