대각합

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선형대수학에서, 대각합(對角合, 영어: trace, 독일어: Spur)은 정사각행렬의 대각선 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp.

정의[편집]

A정사각행렬이고, 행렬 A의 i번째 행, i번째 열에 위치한 성분을 a_{ij}라고 하자. 그렇다면 A대각합 \operatorname{tr}(A)는 다음과 같다.

\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^na_{ii}.

성질[편집]

행렬의 대각합은 고유값들의 합과 같다.

대각합은 선형성을 갖는다. 임의의 n차 정사각행렬 A, B스칼라 r에 대해여

\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)
\operatorname{tr}(rA) = r \cdot \operatorname{tr}(A)

이 성립함을 알 수 있다.

임의의 행렬 A전치행렬에서도 대각선 성분은 변하지 않기 때문에, 전치행렬의 대각합은 A의 대각합과 같다.

\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^\mathrm{T})

만약 Am \times n 행렬이고, Bn \times m 행렬일 때, ABBA는 각각 m차, n차 정사각 행렬이 된다. 이때 다음 등식이 성립한다.

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

이는 행렬의 곱셈을 이용하면 증명할 수 있다.

\mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^n (BA)_{jj} = \mathrm{tr}(BA)

참고 문헌[편집]