계수 (선형대수학)

선형대수학에서 어떤 행렬의 열계수(列階數, column rank)는 주어진 체에서 선형독립 열 벡터의 최대 개수이다. 마찬가지로 행계수(行階數, row rank)는 선형독립인 행 벡터의 최대 개수로 정의한다.

행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같다(이 결과를 계수 정리라고 한다). 이에 따라 일반적으로 이 둘을 구분없이 $A$의 계수(階數, rank)라고 부른다. 행렬 $A$의 계수는 $\operatorname{rk}(A)$, 혹은 $\operatorname{rank}\ A$로 표기한다.

다른 정의

체 $F$를 $m \times n$ 행렬 $A$가 가질 수 있는 독립인 열의 최대 개수는 $A$의 열공간의 차원과 같다. 열계수는 행계수와도 같으므로 rank를 행렬 $A$의 행공간의 차원으로도 정의할 수 있다.

행렬 $A$를 다음과 같이 하나의 사상으로 볼 수 있다.

$f:\, F^n \to F^m$

$f(\mathbf x) = A \mathbf x$

이때 $A$의 계수는 상 $f$의 차원으로도 정의할 수 있다.

성질

$A$가 체 $F$ 위에서 정의된 $m \times n$ 행렬이고, 위와 같이 상 $F$를 정의한다고 하자.

• 계수가 0인 행렬은 오직 영행렬 뿐이다.
• $A$의 계수는 $m$이나 $n$보다 클 수 없다.
• $A$의 계수가 $n$인 것은 $f$가 단사인 것과 같다.
• $A$의 계수가 $m$인 것은 $f$가 전사인 것과 같다.
• $A$가 정사각행렬이고 rank가 $n$인 것은 $A$가 역행렬을 갖는 것과 같다.
• 임의의 $n \times k$ 행렬 $B$에 대해 $AB$의 계수는 $A$나 $B$의 계수보다 클 수 없다.
• $n \times k$ 행렬 $B$의 계수가 $n$이면 $AB$의 계수는 $A$의 계수와 같다.
• $l \times m$ 행렬 $C$의 계수가 $m$이면 $CA$의 계수는 $A$의 계수와 같다.
• $A$의 계수가 $r$이라는 것은 다음과 같은 성질을 만족하는 역행렬을 갖는 $m \times m$ 행렬 $X$와 $n \times n$ 행렬 $Y$가 존재한다는 것과 같다.

$XAY = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

$I_r$은 $r \times r$ 단위행렬이다.

• $A$의 계수와 영공간의 차원의 합은 행렬의 열 개수와 같다. (차원 정리)
• (프로베니우스의 부등식) 만약 AB, ABC, BC가 정의된다면, $\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC).$
• (실베스터의 계수 부등식) 만약 A가 n열을 가지는 행렬이고 B가 n행을 가지는 행렬이면, $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(A)$ 이고 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \operatorname{rank}(B).$
  • 실베스터의 계수 부등식은 프로베니우스 부등식의 특수한 형태에서 얻을 수 있다.

계산법

$A$의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 가우스 소거법을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두배와 같고 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같으므로 $A$의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

이때 0이 아닌 행이 두개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 행할 때 가우스 소거법은 부정확한 결과를 내놓을 확률이 높으므로, 특이값 분해를 통해 계수를 계산할 수 있다. 혹은 가우스 소거법보다 좀 더 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

같이 보기

• 차원 정리
• 계수 정리

참고 문헌

• Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004