스칼라곱

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 스칼라곱(scalar곱, 영어: scalar product) 또는 점곱(영어: dot product)은 두 벡터스칼라를 계산하는 이항연산이다. 스칼라곱을 사용하는 모든 유클리드 공간내적공간이므로, 스칼라곱을 단순히 ‘내적’이라 부르기도 한다.

정의[편집]

두 벡터 \mathbf a = [a_1, a_2, \cdots , a_n], \mathbf b = [b_1, b_2, \cdots , b_n] 의 스칼라곱은 다음과 같다:

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i

[편집]

예를 들어, 두 벡터 [1, 3, −2], [4, −2, −1]의 스칼라곱은

[1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0

이 된다.

성질[편집]

또한

\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta

로도 표현하는데 이는 벡터 \mathbf a에 벡터 \mathbf b를 투영한 형태, 즉 벡터 \mathbf b를 벡터 \mathbf a와 동일한 방향의 성분으로 변환하여 그 스칼라값을 벡터 \mathbf a의 스칼라 값에 곱하는 것이라 할 수 있다. 이때 벡터 \mathbf a와 벡터 \mathbf b의 사이각인 \theta가 90˚ 즉 직교하는 경우는 결과가 "0"이 되며 0˚인 경우 즉 같은 방향인 경우에 최댓값이 된다. 물론 결과값은 벡터가 아닌 스칼라 값이다.

응용[편집]

위와 같은 내적의 성질을 응용하는 기하학적 계산을 대수학적인 계산으로 변환 처리할 경우에 이용된다. 특히 프로그래밍에서 스칼라곱은 두 벡터 사이의 각을 구하는 데 빈번히 사용된다.

같이 보기[편집]