그람-슈미트 과정

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그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt過程, 영어: Gram-Schmidt process) 또는 그람-슈미트 단위직교화(Gram-Schmidt單位直交化, 영어: Gram-Schmidt orthonormalization)는 내적공간에서 유한 개의 일차독립 벡터 집합을 정규직교기저로 변환하는 방법이다.

과정[편집]

그람-슈미트 과정의 시각화

내적공간 V의 기저 \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_k\}이 주어졌다고 하자. 사영 연산자를 다음과 같이 정의한다.

\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v}) = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}

먼저 각 벡터 \mathbf{v}_i\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_{i-1}와 직교적인 벡터 \mathbf{u}_i으로 만든다. 구체적으로는 다음과 같은 연산을 거친다.

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_2)
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_3)-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,(\mathbf{v}_3)
\vdots
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,(\mathbf{v}_k)

이렇게 생성된 \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_k\} 집합은 직교적이다. 이제, 벡터 \mathbf{e}_i

\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}

로 정의하면 V정규직교기저 \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_k\}를 얻는다.

역사[편집]

원래 피에르시몽 라플라스오귀스탱루이 코시의 논문에 등장하였다. 이후 덴마크의 예르겐 페데르센 그람(덴마크어: Jørgen Pedersen Gram)과 독일계 에스토니아 태생의 에르하르트 슈미트(독일어: Erhard Schmidt)가 명시적으로 이를 다루었으며, 이들의 이름을 땄다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]