전치행렬

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수학, 특히 선형대수학에서, 어떤 행렬전치행렬(轉置行列, transposed matrix)은 원래 행렬의 열은 행으로, 행은 열으로 바꾼 것이다. 정사각행렬의 경우에는 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 주대각선을 기준으로 대칭되는 원소끼리 바꿔치기하여 전치행렬을 얻을 수 있다. A행렬의 전치행렬은 AT, tA, A′, Atr 등으로 나타낸다..

m × n 행렬 A의 전치행렬은 n × m 행렬이 된다. 1 ≤ in and 1 ≤ jm일 때 ATAT[i, j] = A[j, i]라고 정의할 수 있다.

전치행렬의 예는 다음과 같다.

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad\quad\quad 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

성질[편집]

m × n 행렬 AB가 있을 때 모든 스칼라c에 대하여 (A + B)T = AT + BT 이고 (cA)T = c(AT)이다. 즉, 치환행렬 연산은 m × n 행렬을 정의역과 치역으로 가지는 선형사상임을 알 수 있다.

치환행렬 연산을 두번 반복하면 원래 행렬이 나온다. (AT)T = A.

Am × n 행렬이고 Bn × m 행렬이면, (AB)T = (BT)(AT)이다. 곱셈의 순서가 바뀌는 것에 주의해야 한다. 이 사실로부터 어떤 행렬 A가 역행렬을 가지려면, AT도 역행렬을 가져야 한다는 것을 알 수 있다. (A-1)T = (AT)-1.

벡터  \mathbf{a}\mathbf{b}내적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b} \,