텐서

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미적분학
v  d  e  h

텐서(tensor)는 수학물리학에서 서로 약간 다른 의미로 사용되는 개념이다. 수학의 다중선형대수학미분기하학 등의 분야에서 텐서는 간단히 말하면 다중선형함수이다. 텐서장이란 기하학적 공간의 각 점마다 위 의미의 텐서가 하나씩 붙어 있는 것을 가리키는데, 물리학과 공학 등에서는 텐서장을 단순히 '텐서'라 부르는 경우도 많다.

정의[편집]

VW F 상의 벡터 공간일 때, 이 둘의 텐서곱 V \otimes_F WF 상의 벡터 공간으로 아래의 보편 조건을 만족하는 이중선형사상 \otimes:  V \times W \rarr V \otimes_F W을 갖는 것이다.

보편 조건: F 상의 임의의 벡터 공간 X와 F-이중선형사상 Q:  V \times W \rarr X \,에 대해,
 Q (v,w)  = Q'(v\otimes w) \ \ \forall v \in V, w \in W
를 만족하는 F-선형사상  Q': V \otimes_F W \rarr X 가 유일하게 존재한다.

위의 보편 조건을 만족하는 벡터 공간 V \otimes_F W과 이중선형사상 \otimes은 유일하게 존재하며, 따라서 이 조건으로 텐서곱이 정의된다.

이때, V 상의 텐서는 벡터 공간 V \otimes ... \otimes V \otimes V^* \otimes ... \otimes V^*의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. (여기에서 V^*V쌍대공간이다.) 위의 텐서곱에서 Vm개 있고 V^*n개 있을 경우 이를 (m, n) 형의 텐서라 한다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank)라 하고 n을 공변 계수(covariant rank)라 하며, m+n을 총 계수(total rank)라 한다.

계수 0의 텐서는 스칼라(F의 원소)와 같고, 공변 계수 없이 반변 계수만 1인 텐서는 V의 원소(벡터)와 같으며, 공변 계수만 1인 텐서는 V*의 원소(1-형식)와 같다.