텐서

텐서(tensor)는 수학과 물리학에서 서로 약간 다른 의미로 사용되는 개념이다. 수학의 다중선형대수학 및 미분기하학 등의 분야에서 텐서는 간단히 말하면 다중선형함수이다. 텐서장이란 기하학적 공간의 각 점마다 위 의미의 텐서가 하나씩 붙어 있는 것을 가리키는데, 물리학과 공학 등에서는 텐서장을 단순히 '텐서'라 부르는 경우도 많다.

정의

$V$와 $W$가 체 $F$ 상의 벡터공간일 때, 이 둘의 텐서곱 $V \otimes_F W$는 $F$ 상의 벡터공간으로 아래의 보편 조건을 만족하는 이중선형사상 $\otimes: V \times W \rarr V \otimes_F W$을 갖는 것이다.

보편 조건: $F$ 상의 임의의 벡터공간 X와 F-이중선형사상 $Q: V \times W \rarr X \,$에 대해,

$Q (v,w) = Q'(v\otimes w) \ \ \forall v \in V, w \in W$

를 만족하는 $F$-선형사상 $Q': V \otimes_F W \rarr X$가 유일하게 존재한다.

위의 보편 조건을 만족하는 벡터공간 $V \otimes_F W$과 이중선형사상 $\otimes$은 유일하게 존재하며, 따라서 이 조건으로 텐서곱이 정의된다.

이때, $V$ 상의 텐서는 벡터공간 $V \otimes ... \otimes V \otimes V^* \otimes ... \otimes V^*$의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. (여기에서 $V^*$는 $V$의 쌍대공간이다.) 위의 텐서곱에서 $V$가 $m$개 있고 $V^*$가 $n$개 있을 경우 이를 $(m, n)$ 형의 텐서라 한다. 여기에서 $m$을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank)라 하고 $n$을 공변 계수(covariant rank)라 하며, $m+n$을 총 계수(total rank)라 한다.

계수 0의 텐서는 스칼라($F$의 원소)와 같고, 공변 계수 없이 반변 계수만 1인 텐서는 $V$의 원소(벡터)와 같으며, 공변 계수만 1인 텐서는 $V$*의 원소(1-형식)와 같다.

바깥 고리

• 텐서(Tensor)와 상대론(Relativity) - 0. 텐서(Tensor)란?