텐서

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미적분학
v  d  e  h

텐서(tensor)는 수학물리학에서 서로 약간 다른 의미로 사용되는 개념이다. 수학의 다중선형대수학미분기하학 등의 분야에서 텐서는 간단히 말하면 다중선형함수이다. 텐서장이란 기하학적 공간의 각 점마다 위 의미의 텐서가 하나씩 붙어 있는 것을 가리키는데, 물리학과 공학 등에서는 텐서장을 단순히 '텐서'라 부르는 경우도 많다.

물리학에서는 자연현상을 설명하기 위해 거의 필수적으로 좌표계를 도입해서 시간과 공간에 숫자를 부여하고 이 숫자들 간의 관계로 법칙을 설명한다. 물리학의 거의 모든것들이 이런 공간과 시간의 개념이 없이는 설명되기 힘들다는 걸 알 수 있다. 시공간 개념과 아무 관계가 없어보이는 것들(전하량, 질량 등)도 곰곰히 생각해보면 그 양이나 효과를 측정하거나 이해하기 위해 시간에 따라 공간을 어떻게 이동하는지, 즉 가속도가 생기는지 위치가 변하는지 등으로 특성을 파악한다는 것을 알 수 있다. 하지만 이러한 좌표계나 단위(unit: SI 단위계 혹은 cgs 단위계 같은), 척도(scale)를 도입하는 방법이 딱 한가지로 정해져 있는 것이 아니다. 물리법칙이란 것은 우리가 어떠한 좌표들을 도입하더라도 바뀌거나 하는 것이 아니기 때문에 도입되는 좌표와 무관하게 물리법칙을 기술할 필요성이 있다. 이처럼 도입된 좌표와 무관하게 유일무이하게 자연현상을 기술하기 위해 도입된 개념이 텐서이다.[1]


정의[편집]

VW F 상의 벡터공간일 때, 이 둘의 텐서곱 V \otimes_F WF 상의 벡터공간으로 아래의 보편 조건을 만족하는 이중선형사상 \otimes:  V \times W \rarr V \otimes_F W을 갖는 것이다.

보편 조건: F 상의 임의의 벡터공간 X와 F-이중선형사상 Q:  V \times W \rarr X \,에 대해,
 Q (v,w)  = Q'(v\otimes w) \ \ \forall v \in V, w \in W
를 만족하는 F-선형사상  Q': V \otimes_F W \rarr X 가 유일하게 존재한다.

위의 보편 조건을 만족하는 벡터공간 V \otimes_F W과 이중선형사상 \otimes은 유일하게 존재하며, 따라서 이 조건으로 텐서곱이 정의된다.

이때, V 상의 텐서는 벡터공간 V \otimes ... \otimes V \otimes V^* \otimes ... \otimes V^*의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. (여기에서 V^*V쌍대공간이다.) 위의 텐서곱에서 Vm개 있고 V^*n개 있을 경우 이를 (m, n) 형의 텐서라 한다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank)라 하고 n을 공변 계수(covariant rank)라 하며, m+n을 총 계수(total rank)라 한다.

계수 0의 텐서는 스칼라(F의 원소)와 같고, 공변 계수 없이 반변 계수만 1인 텐서는 V의 원소(벡터)와 같으며, 공변 계수만 1인 텐서는 V*의 원소(1-형식)와 같다.


출처[편집]

  1. 텐서(Tensor)와 상대론(Relativity) - 0. 텐서(Tensor)란?, kipid's blog