근 (수학)

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(根)은 등식의 일종인 방정식에서 쓰이는 용어로, 특정한 문자에 대한 방정식에서 “특정한 문자”가 ‘어떤 값’으로 변하여 참을 만족했을 때, 그 ‘어떤 값’이 바로 방정식의 근이다.

즉,  방정식을 성립하게 하는 미지수의 값이 근이다.

방정식의 근은 서양권에서 root(뿌리)라 부르고, 동양권에서는 根(뿌리)라 부른다. 방정식의 개념이 정립된 근원은 그 방정식을 성립시키는 미지수의 값, 을 구하는 것이 목적인 것이다.


근은 함수와 그 함수에 y=0을 대입한 방정식의 관계를 보여주기도 한다 함수 y=f(x)와 x축의 교점의 x좌표는 방정식f(x) = 0의 근이다. 예를 들어 f(x) = x+9라는 함수가 있을 때, 방정식 f(x)=0에 대하여,f(-9)=0이므로 -9는 이 함수와 x축의 교점의 x좌표이다.

위와 같이 일차방정식의 근은 x의 계수가 실수일때는 항상 실근을 가지기에 실수좌표계에서 일차함수와의 관계를 명료하게 나타내는데 유용하다. 그러나 이차방정식의 근은 x의 계수가 모두 실수임에도 불구하고 허근을 갖는 경우가 있어, 이 경우는 실수 좌표계에서 점으로 나타낼 수없다. 즉, 이차함수와 이차방정식의 관계를 명료하게 나타내는데 어렵다. 따라서 고등수학과정에서 이차함수와 이차방정식의 관계는 단순히 이차함수와 x축의 위치관계만 간단히 다루는것도 실수좌표계는 허수를 점으로 표현할 수 없다는 이유에서이다. 방정식의 근은 복소수의 범위에 국한되지않고 매우 넓을 수 있다는 가능성을 보여줄 수 있는 증거이기도하다.

근의 구성[편집]

모든 홀수실수 계수 다항식들은 실수만을 근으로 가진다. 짝수차 다항식의 경우 모든 근이 실수인 것은 아니지만, 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 n차 다항식은 중근을 포함해서 n개의 복소수 근을 가진다. 실수 계수 다항식의 근이 실수가 아닌 경우 그 켤레복소수 또한 그 다항식의 근이다.

어떤 방정식이 0x = 0의 꼴로 나타내어지면 근의 개수가 무한해지므로 이 경우를 부정(不定)이라고 한다. 반대로, 방정식이 0x = a(a≠0)의 꼴로 나타내어진다면 근이 존재하지 않게 되므로 이 경우를 불능(不能)이라고 한다.

근의 공식[편집]

1차부터 4차까지의 다항식은 사칙 연산과 제곱근만 쓰는 일반화된 식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 근의 공식이라 하며 특히 이차 방정식\textstyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}가 대표적이다. 5차 이상의 다항식은 아벨-루피니 정리에 의해 일반적인 근의 공식이 존재하지 않음이 알려져 있다.