이차 방정식

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이차함수 y = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 x = − 1과 x = 2는 x2 − x − 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

ax^2 + bx + c = 0 , \quad a \ne 0

와 같고, 여기에서 a와 b는 각각 x2,x의 계수라고 한다. c는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근이라고 한다.

목차

[편집] 근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

ax2 + bx + c = 0, 단, a, b, c는 실수이고 a가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 x1, x2는
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 D = b2 − 4ac를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[편집] 유도

ax2 + bx + c = 0에서, a는 0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.

\textstyle x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\textstyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

좌변을 x2 + 2xy + y2과 같은 모양으로 만들면, \scriptstyle \frac{b}{a}x = 2xy이므로 \scriptstyle y = \frac{b}{2a}가 된다. 양변에 y2를 더해주면,

\textstyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

가 얻어진다. 여기에서 x2 + 2xy + y2 = (x + y)2이므로, 좌변은 \scriptstyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

\textstyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|} \ \Leftrightarrow \ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

가 얻어진다. 는 지랄이엿구 이때까지 쌩쇼엿습니다 ㅎ. 6^2

[편집] 짝수 공식

이차 방정식에서 일차항의 계수가 짝수인 경우, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 이 짝수 공식을 이용하는 쪽이 훨씬 더 빠르게 답을 찾아낼 수 있다.

x = \frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a} \ \left( b'=\frac{1}{2} b \right)

[편집] 유도 과정

이차 방정식의 일반형 ax2 + bx + c = 0에서, \scriptstyle b'=\frac{1}{2}b라고 정의한다면, 양변에 2를 곱해, b = 2b'가 된다.

따라서 위의 일반형을 b'에 관한 식으로 고치면, ax2 + 2b'x + c = 0로 고쳐질 수 있다.

양변을 최고차항인 이차항의 계수 a로 나누면,

x^2+\frac{2b'}{a}x+\frac{c}{a}=0

상수항 \scriptstyle \frac{c}{a}를 우변으로 이항하고 양변에 (일차항 계수의 1/2)2을 더해주면,

x^2+\frac{2b'}{a}x+(\frac{2b'}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{2b'}{2a})^2
x^2+\frac{2b'}{a}x+\frac{b'^2}{a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b'^2}{a^2}
(x+\frac{b'}{a})^2=\frac{b'^2-ac}{a^2}
x+ \frac{b'}{a}=\frac{\pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a}
x=\frac{-b' \pm \sqrt {b'^2-ac\ }}{a}

[편집] 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

[편집] 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명

ax2 + bx + c = 0의 두 근 α,β는 각각

\alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

\beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

\alpha + \beta = \frac {-b-b+\sqrt {b^2-4ac\ }-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

\alpha + \beta = \frac {-2b}{2a}


\therefore \alpha + \beta =-\frac {b}{a}


\alpha \beta =\frac {b^2-(\sqrt {b^2-4ac\ })^2}{(2a)^2}

\alpha \beta =\frac {b^2-b^2+4ac}{4a^2}

\alpha \beta =\frac {4ac}{4a^2}

\therefore \alpha \beta =\frac {c}{a}

[편집] 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명

ax2 + bx + c = 0의 두 근을 각각 α,β라고 정의하고

α,β을 근으로 갖는 이차방정식을 (x − α)(x − β) = 0이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 k를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

ax^2+bx+c=0 \iff k(x-\alpha)(x-\beta)=0

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두번째 이차방정식인 k(x − α)(x − β) = 0의 계수를 나누고 전개해주면

x2 + ( − α − β)x + αβ - ⓐ

또한, 첫번째 이차방정식인 ax2 + bx + c = 0 또한 두번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 ax2의 계수 a로 나눠주면

x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

-\alpha - \beta=\frac {b}{a}, -(\alpha + \beta)=\frac {b}{a}

\therefore \alpha + \beta = -\frac {b}{a}

\therefore \alpha \beta = \frac {c}{a}

[편집] 같이 보기

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%B0%A8_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D’