근과 계수의 관계

근과 계수의 관계는 이차 이상의 어떤 고차방정식의 근과 그 방정식의 미지수 사이의 관계를 수식으로 나타낸 것이다. 비에트의 공식(Viète's formulas)이라고도 불린다.

공식

계수가 실수 혹은 복소수이고 최고차항의 계수가 영이 아닌 임의의 $n$차 방정식★

$p(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 =0 \,$

이 있다고 하자. 대수학의 기본정리에 의해 $n$개의 (모두 다를 필요는 없음)의 복소수해 $x_1 , x_2 , .... , x_n$를 가진다.

위 방정식과 근과의 관계가 다음과 같다.

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

위의 공식은 아래처럼 간단하게 쓸 수도 있다.

$\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

예

이차 혹은 삼차방정식의 경우는 중고교시험에서 흔히 등장한다.

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$에 대하여, 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면, $\scriptstyle \alpha+\beta = -\frac b a$, $\scriptstyle \alpha \beta = \frac{c}{a}$이다.

삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$에 대하여, 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$라 하면, $\scriptstyle \alpha+\beta+\gamma = -\frac b a$, $\scriptstyle \alpha\beta\gamma = -\frac d a$, $\scriptstyle \alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma = \frac{c }{a}$이다.