차 (수학)

차(次) 또는 차수(次數)는 수학에서 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식이나 삼차방정식, 이차확대체처럼 다항식의 종류나 확대체의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.

다항식의 차수

정의

다항식을 동류항끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수라 한다. 다항식 $f$의 차수는 보통 $\deg \, f$로 나타낸다.

예를 들어, $x^2+10x+16$의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식 $(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)$은 $x^3$을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면

$(x^3+2x^2+3)-(x^3+2x+3)=2x^2-2x$

이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.

문자가 여러 개인 다항식의 차수

두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.

예를 들어, 두 문자 $x$와 $y$에 대한 다항식 $x^2y^3+x^3+y^4+1$에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

항	($x$의 지수)+($y$의 지수)
$x^2y^3$	5
$x^3 = x^3y^0$	3
$y^4 = x^0y^4$	4
$1 = x^0y^0$	0

가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.

차수의 성질

일반적으로 두 다항식 $f$와 $g$에 대하여 다음이 성립한다.

$\deg(f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)$

$\deg(fg) = \deg \, f + \deg \, g$

예를 들어, $f(x) = x^2+1, g(x) = x+2$일 때,

$f(x)+g(x) = x^2+x+3$

$f(x)g(x) = x^3+2x^2+x+2$

이므로 위의 성질이 성립한다.

상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를 $-\infty$로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수 $a$에 대하여

$-\infty < a,\ -\infty + a = -\infty$

이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.

확대체의 차수

체 $F$와 그 확대체 $K$에 대하여, $K$를 $F$위에서 정의된 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이때 $K$의 차원 $\dim_F{K}$을 확대체 $K$의 $F$에 대한 차수라 하며 $[K:F]$로 나타낸다. 예를 들어 $[\mathbf{Q}(\sqrt{2}):\mathbf{Q}]=2$이므로 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$는 $\mathbf{Q}$의 이차확대체이다.

그래프 이론의 차수

무향 그래프에서, 한 꼭지점에 이어져있는 변의 개수