오차 방정식

네 개의 임계점을 가지는 5차함수의 그래프

오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 계수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 , \;a\ne 0$

와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e는 각각 $x^5 , x^4 , x^3 , x^2, x$의 계수라고 한다. $f$는 상수항이라고 부른다.

오차방정식의 근

갈루아와 아벨은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근을 이용하여 오차 이상의 방정식의 근을 표현할 수 없음을 증명하였다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. 종종 일반인들은 이 결과가 '오차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '오차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 오차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

풀 수 있는 오차 방정식

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모든 오차 방정식을 항상 일반적인 방법으로 근의 공식이 나오도록 유도할 수는 없으나, 경우에 따라서 쉽게 풀 수 있는 오차 방정식도 있다. 가장 좋은 예가 인수분해 되는 경우이다. 예를 들어 $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$와 같은 오차방정식의 경우 $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)^2 = 0$와 같이 표현되므로 쉽게 풀 수 있다.

갈루아는 갈루아 이론(Galois theory)을 통해 주어진 방정식이 사칙연산과 거듭제곱근으로 풀 수 있는지를 확인하는 기법을 개발했고, 이러한 기법은 1885년에 처음 적용되었다. 만약 어떤 인수분해가 되지 않는 오차방정식

$x^5 + ax + b = 0$

이 거듭제곱근을 통해 풀 수 있다는 것과 오차방정식이 다음의 형태로 표현가능하다는 것은 동치이다.

$x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0$

여기서 $\mu$와 $\nu$는 유리수이다. 1994년에 블레어 스피어맨(Blair Spearman)과 케네드 윌리엄(Kenneth S. Williams)는 다른 식을 발견하였다.

$x^5 + \frac{5e^4(\pm 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2 + 1} = 0.$

함께 읽기

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