오차 방정식

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네 개의 임계점을 가지는 5차함수의 그래프

5차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 , \;a\ne 0

와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e는 각각 x^5 , x^4 , x^3 , x^2, x 계수라고 한다. f는 상수항이라고 부른다.

5차방정식의 근[편집]

갈루아아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.[1] 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 출처는 영문 위키피디아