임계점 (수학)

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어떤 함수 f의 임계점(臨界點, Critical point)이란, 일급함수 f 에서는 모든 방향미분계수가 영이 되는 점을, 불연속 함수 f 에서는 불연속점을, 연속이지만 일급함수 가 아닌 함수 f 에서는 도함수가 정의되지 않는 점을 말한다.

(f'(x)=0 이 될 때의 x값을 말한다)

n-공간에서 정의된 일급함수 f의 임계점은 각각의 문자에 대해 미분하여 n개의 편미분 값이 각각 영이 되도록 만들어주는 좌표를 찾아줌으로써 구할 수 있다. 이때 임계점은 극점(극대점 또는 극소점)일 수도 있고, 안장점일 수도 있다. 페르마의 임계점 정리에 따르면, n-공간의 열린 집합에서 정의된 미분 가능한 함수의 극점은 임계점이다.

불연속 함수에서는 어떤 한 점에서만 불연속일 때, 즉 다른 점에서는 연속인데 한 점에서 함수 값이 극한값과 달라 불연속인 함수에서는 그 불연속인 점을 임계점으로 잡는다.

연속이지만 일급함수가 아닌 경우 좌 미분계수와 우 미분계수가 서로 다른 꺾인 점을 갖게 되는데, 이때 이 꺾인 점을 임계점으로 잡는다.