임계점 (수학)

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수학에서, 임계점(臨界點, 영어: critical point) 또는 정류점(定流點) 또는 정상점(定常點)은 함수의 도함수가 0이 되는 점이다. 극대점이나 극소점, 또는 안장점으로 분류된다.

정의[편집]

매끈한 미분다양체 M 위의 1차 미분 가능 실함수 f\colon M\to\mathbb R임계점은 다음이 성립하는 점 x_0\in M이다. 임의의 좌표계 \{x^i\}에서,

\left|\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_{x_0}=0

이 경우, 값 f(x_0)임계값(영어: critical value)이라고 한다.

분류[편집]

매끈한 리만 다양체 (M,g) 위의 2차 미분 가능 실함수 f\colon M\to\mathbb R의 임계점 x_0\in M들은 그 헤세 행렬

(Hf|_{x_0})_{ij}=\nabla_i\partial_jf

에 따라서 다음과 같이 분류된다.

페르마의 임계점 정리[편집]

페르마의 임계점 정리(영어: Fermat’s theorem on critical points)에 따르면, 연속함수 f\to M의 최대점 또는 최소점 x_0\in M이 존재한다면, 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.

  1. fx_0에서 미분 불가능하다.
  2. fx_0에서 미분 가능하며, 임계점을 이룬다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Critical point. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).