모스 이론

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미분위상수학에서, 모스 이론(영어: Morse theory)은 다양체위상수학을 그 위에 정의된 매끈한 함수로 분석하는 분야이다.[1][2][3][4] 이 경우 함수의 임계점을 통해 다양체의 호몰로지를 다룰 수 있다.

전개[편집]

모스 함수와 모스 지표[편집]

M콤팩트 미분다양체라고 하고, 그 위에 매끈한 함수 f\colon M\to\mathbb R이 있다고 하자. f임계점들은 f헤시안 행렬이 0인 M의 부분집합이다. 특이점 x\in M모스 지표(영어: Morse index)는 x에서의 M헤시안 행렬의 음의 고윳값의 수이고, \gamma(x)라고 쓰자.

모스 함수(영어: Morse function)는 모든 임계점들의 헤시안 행렬이 비퇴화 형식인 함수다. 매끈한 함수 M\to\mathbb R의 공간 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R) 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

\Vert f\Vert|_k=\sup_M|f|^2+\sup_M\Vert\nabla f\Vert^2+\cdots+\sup_M\Vert\nabla^kf\Vert^2

이 프레셰 위상을 C^\infty 위상이라고 하고, 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에 따라, 모스 함수들의 부분공간은 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)조밀집합이다.

세포 구조[편집]

콤팩트 미분다양체 M 위에 모스 함수 f가 있다고 하자. 그렇다면

M^a=f^{-1}(-\infty,a]

로 정의하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • 만약 [a,b]\subset\mathbb R 사이에 f의 임계값이 없다면, M^aM^b미분동형이다.
  • 만약 x\in Mf의 임계점이고, 또한 f^{-1}[f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon]x이외 다른 임계점을 포함하지 않는다면, M^{f(x)+\epsilon}M^{f(x)-\epsilon}\gamma(x)세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 모스 함수 f는 다양체 M호모토피 동치세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 k인 특이점은 k차 세포에 대응된다.

모스 부등식[편집]

지표가 k인 특이점의 수를 N_k라고 하자. 그렇다면 세포 복합체의 호몰로지 이론에 따라서 다음이 성립한다.

\sum_k(-1)^kN_k=\sum_k(-1)^kb_k(M)=\chi(M)

여기서 b_k(M)Mk베티 수이고, \chi(M)M오일러 지표다. 또한, 세포 복합체 호몰로지로부터 다음을 쉽게 알 수 있다

N_k\ge b_k(M)

이를 약한 모스 부등식(영어: weak Morse inequality)이라고 한다.

약한 모스 부등식을 다음과 같은 강한 모스 부등식(영어: strong Morse inequality)으로 강화시킬 수 있다 모든 k에 대하여, 다음이 성립한다.

\sum_{i=0}^k(-)^{k-i}N_i\ge\sum_{i=0}^k(-)^{k-i}b_i(M)

모스 호몰로지[편집]

콤팩트 미분다양체 M의 호몰로지를 다음과 같이 모스 이론으로 정의할 수 있다. 이 호몰로지를 모스 호몰로지(영어: Morse homology)라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

콤팩트 미분다양체 M 위에 임의의 리만 계량 g와 모스 함수 f를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 \nabla f\in\Gamma(TM)을 정의할 수 있다. 각 임계점 x\in M에 대하여, \nabla f의 안정 부분공간(stable subspace) W^\text{s}(x)과 불안정 부분공간(unstable subspace) W^\text{u}(x)을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단교차(영어:  transversal intersection)한다면 (즉, 모든 y\in W^\text{s}(x)\cap W^\text{u}(x)에서 T_yM=T_yW^\text{s}(x)\oplus T_yW^\text{u}(x)이라면) 순서쌍 (g,f)모스-스메일(영어: Morse–Smale)이라고 한다.[5] 이는 마스턴 모스스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

f의 기울기 흐름(gradient flow)은 f의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 x_i, x_j 사이의 기울기 흐름들의 모듈러스 공간 \mathcal F(x_i,x_j)을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

\dim\mathcal F(x_i,x_j)=|\gamma(x_i)-\gamma(x_j)|

모스-스메일 구조 (g,f)가 주어진 콤팩트 미분다양체 M 위에, 모스 사슬 복합체(영어: Morse chain complex) C_i(M)는 모스 지표가 i인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

\partial_i\colon C_i(M)\to C_{i-1}(M)

x_i\in C_i(M)x_i로부터 시작하는 f의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

H_\text{M}(M)=\ker\partial_i/\operatorname{im}\partial_{i+1}

모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 구조의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

모스-위튼 코호몰로지[편집]

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다.[4][6] 이는 에드워드 위튼이 발견하였고,[7] 모스-위튼 코호몰로지(영어: Morse–Witten cohomology)라고 불린다.

모스 함수 f가 주어진 콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

d_t=\exp(-tf)d\exp(tf)
d^\dagger_t=\exp(-tf)d^\dagger\exp(tf)
\Delta_t=d_td^\dagger_t+d^\dagger_td_t

그렇다면 \Delta_t고윳값에 따라, M 위의 k미분형식들의 공간 \Omega^k을 다음과 같이 분해할 수 있다.

\Omega^k=\bigoplus_\lambda\Omega^k_\lambda(t)
\Delta_t\alpha=\lambda\alpha\forall\alpha\in\Omega^k_\lambda(t)

이 경우, t=0일 때 호지 이론에 따라서

\Omega^k_0(0)\cong H_\text{dR}^k(M)

이다. 여기서 H_\text{dR}^\bullet드람 코호몰로지다. 반면, t\to\infty로 보내자. 그렇다면 \Omega^k_0(\infty)는 모스 지표가 k인 임계점 근처에 국소화된 k차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

\dim\Omega^k_0(\infty)=N_k

이다. 여기서 N_k는 모스 지표가 k인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(영어: Morse–Witten complex)가 존재한다.

\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\cdots\xrightarrow d\Omega_0^k(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^{k+1}(\infty)\xrightarrow {d_\infty}\cdots

여기서 공경계 연산자 d_\infty는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다. 이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

기호 수학적 설명 물리학적 설명
C^\infty(M;\mathbb C) M 위의 매끈한 함수들 M 위의 보손들의 힐베르트 공간
\Omega^k(M)\otimes\mathbb C M 위의 k미분형식들의 공간 페르미온 수가 k인 상태들의 힐베르트 공간
d\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M) 외미분 초대칭 연산자의 하나
d^\dagger\colon\Omega^{k+1}(M)\to\Omega^k(M) 외미분의 수반(adjoint) 초대칭 연산자의 하나
\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d 라플라스-벨트라미 연산자 자유 입자의 해밀토니언
\Omega^k_0(\infty) 모스 지표가 k인 임계점들로 생성되는 벡터공간 페르미온 수가 k섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간
d_\infty^k\colon\Omega^k_0(\infty)\to\Omega^{k+1}_0(\infty) 모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 순간자로 매개되는 터널 효과
H_\text{MW}^k=\ker d^k_\infty/\operatorname{im}d^{k-1}_\infty 모스-위튼 코호몰로지 군 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

역사와 어원[편집]

마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리[8]제임스 클러크 맥스웰[9] 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

마스턴 모스변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.[10] 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(영어: Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론보트 주기성(영어: Bott periodicity)을 증명하였다.[11][12][13]

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(영어: Morse–Witten theory)이라고 한다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Matsumoto, Yukio (2002년). 《An Introduction to Morse Theory》, Iwanami Series in Modern Mathematics. American Mathematical Society. MR1873233. ISBN 978-0-8218-1022-4
  2. (영어) Nicolaescu, Liviu (2011년). 《An Invitation to Morse Theory》, Universitext , ISSN 0172-5939, 2판, Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. MR2883440. ISBN 978-1-4614-1104-8
  3. (영어) Bott, Raoul (1982년 9월). Lectures on Morse theory, old and new. 《Bulletin of the American Mathematical Society (new series)》 7 (2): 331–358. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15038-8. MR663786. ISSN 0273-0979.
  4. (영어) Bott, Raoul (1988년). Morse theory indomitable. 《Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques》 68 (1): 99–114. doi:10.1007/BF02698544. MR1001450. ISSN 0073-8301.
  5. (영어) Shub, Michael (2007년). Morse–Smale systems. 《Scholarpedia》 2 (3): 1785. doi:10.4249/scholarpedia.1785. ISSN 1941-6016.
  6. (프랑스어) Henniart, Guy (1985년). Les inégalités de Morse (d’après E. Witten). 《Astérisque》 121–122: 43–61. MR768953. Zbl 0565.58033.
  7. (영어) Witten, Edward (1982년). Supersymmetry and Morse theory. 《Journal of Differential Geometry》 17 (4): 661–692. MR683171. Zbl 0499.53056.
  8. (영어) Cayley, Arthur (1859년). On Contour and Slope Lines. 《Philosophical Magazine (series 4)》 18 (120): 264-268. doi:10.1080/14786445908642760.
  9. (영어) Maxwell, James Clerk (1870년). On hills and dales. 《Philosophical Magazine (series 4)》 40 (269): 421–427. doi:10.1080/14786447008640422.
  10. (영어) Morse, Marston (1934년). 《The Calculus of Variations in the Large》, American Mathematical Society Colloquium Publication 18. New York: American Mathematical Society. JFM 60.0450.01
  11. Bott, Raoul (1956년). An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 84: 251–281. MR0087035. ISSN 0037-9484.
  12. Bott, Raoul (1957년). The stable homotopy of the classical groups. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 43: 933–935. MR0102802. ISSN 0027-8424.
  13. Bott, Raoul (1959년). The stable homotopy of the classical groups. 《Annals of Mathematics (second series)》 70: 313–337. MR0110104. ISSN 0003-486X.