모스 이론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

미분위상수학에서, 모스 이론(영어: Morse theory)은 다양체위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다.[1][2][3][4] 이 경우 함수의 임계점을 통해 다양체의 호몰로지를 다룰 수 있다.

전개[편집]

모스 함수와 모스 지표[편집]

M콤팩트 미분다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R이 있다고 하자. f임계점들은 f헤세 행렬이 0인 M의 부분집합이다. 특이점 x\in M모스 지표(Morse index)는 x에서의 M헤세 행렬의 음의 고윳값의 수이고, \gamma(x)라고 쓰자.

모스 함수(Morse function)는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 비퇴화 형식인 함수다. 매끄러운 함수 M\to\mathbb R의 공간 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R) 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

\Vert f\Vert|_k=\sup_M|f|^2+\sup_M\Vert\nabla f\Vert^2+\cdots+\sup_M\Vert\nabla^kf\Vert^2

이 프레셰 위상을 C^\infty 위상이라고 하고, 리만 계량에 의존하지 않는다. 이 위상에 따라, 모스 함수들의 부분공간은 \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)조밀 집합이다.

세포 구조[편집]

콤팩트 미분 가능 다양체 M 위에 모스 함수 f가 있다고 하자. 그렇다면

M^a=f^{-1}(-\infty,a]

로 정의하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • 만약 [a,b]\subset\mathbb R 사이에 f의 임계값이 없다면, M^aM^b미분동형이다.
  • 만약 x\in Mf의 임계점이고, 또한 f^{-1}[f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon]x이외 다른 임계점을 포함하지 않는다면, M^{f(x)+\epsilon}M^{f(x)-\epsilon}\gamma(x)세포를 추가한 공간과 호모토피 동치이다.

따라서, 모스 함수 f는 다양체 M호모토피 동치세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 k인 특이점은 k차 세포에 대응된다.

모스 부등식[편집]

지표가 k인 특이점의 수를 N_k라고 하자. 그렇다면 세포 복합체의 호몰로지 이론에 따라서 다음이 성립한다.

\sum_k(-1)^kN_k=\sum_k(-1)^kb_k(M)=\chi(M)

여기서 b_k(M)Mk베티 수이고, \chi(M)M오일러 지표다. 또한, 세포 복합체 호몰로지로부터 다음을 쉽게 알 수 있다

N_k\ge b_k(M)

이를 약한 모스 부등식(weak Morse inequality)이라고 한다.

약한 모스 부등식을 다음과 같은 강한 모스 부등식(strong Morse inequality)으로 강화시킬 수 있다 모든 k에 대하여, 다음이 성립한다.

\sum_{i=0}^k(-)^{k-i}N_i\ge\sum_{i=0}^k(-)^{k-i}b_i(M)

모스 호몰로지[편집]

콤팩트 미분다양체 M의 호몰로지를 다음과 같이 모스 이론으로 정의할 수 있다. 이 호몰로지를 모스 호몰로지(Morse homology)라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

콤팩트 미분다양체 M 위에 임의의 리만 계량 g와 모스 함수 f를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 \nabla f\in\Gamma(TM)을 정의할 수 있다. 각 임계점 x\in M에 대하여, \nabla f의 안정 부분공간(stable subspace) W^\text{s}(x)과 불안정 부분공간(unstable subspace) W^\text{u}(x)을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 y\in W^\text{s}(x)\cap W^\text{u}(x)에서 T_yM=T_yW^\text{s}(x)\oplus T_yW^\text{u}(x)이라면) 순서쌍 (g,f)모스-스메일(Morse–Smale)이라고 한다.[5] 이는 마스턴 모스스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

f의 기울기 흐름(gradient flow)은 f의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 x_i, x_j 사이의 기울기 흐름들의 모듈러스 공간 \mathcal F(x_i,x_j)을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

\dim\mathcal F(x_i,x_j)=|\gamma(x_i)-\gamma(x_j)|

모스-스메일 구조 (g,f)가 주어진 콤팩트 미분다양체 M 위에, 모스 사슬 복합체(Morse chain complex) C_i(M)는 모스 지표가 i인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

\partial_i\colon C_i(M)\to C_{i-1}(M)

x_i\in C_i(M)x_i로부터 시작하는 f의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

H_\text{M}(M)=\ker\partial_i/\operatorname{im}\partial_{i+1}

모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 구조의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

모스-위튼 코호몰로지[편집]

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다.[4][6] 이는 에드워드 위튼이 발견하였고,[7] 모스-위튼 코호몰로지(Morse–Witten cohomology)라고 불린다.

모스 함수 f가 주어진 콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

d_t=\exp(-tf)d\exp(tf)
d^\dagger_t=\exp(-tf)d^\dagger\exp(tf)
\Delta_t=d_td^\dagger_t+d^\dagger_td_t

그렇다면 \Delta_t고윳값에 따라, M 위의 k미분형식들의 공간 \Omega^k을 다음과 같이 분해할 수 있다.

\Omega^k=\bigoplus_\lambda\Omega^k_\lambda(t)
\Delta_t\alpha=\lambda\alpha\forall\alpha\in\Omega^k_\lambda(t)

이 경우, t=0일 때 호지 이론에 따라서

\Omega^k_0(0)\cong H_\text{dR}^k(M)

이다. 여기서 H_\text{dR}^\bullet드람 코호몰로지다. 반면, t\to\infty로 보내자. 그렇다면 \Omega^k_0(\infty)는 모스 지표가 k인 임계점 근처에 국소화된 k차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

\dim\Omega^k_0(\infty)=N_k

이다. 여기서 N_k는 모스 지표가 k인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse–Witten complex)가 존재한다.

\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\cdots\xrightarrow d\Omega_0^k(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^{k+1}(\infty)\xrightarrow {d_\infty}\cdots

여기서 공경계 연산자 d_\infty는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다. 이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

이는 M을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

기호 수학적 설명 물리학적 설명
C^\infty(M;\mathbb C) M 위의 매끄러운 함수들 M 위의 보손들의 힐베르트 공간
\Omega^k(M)\otimes\mathbb C M 위의 k미분형식들의 공간 페르미온 수가 k인 상태들의 힐베르트 공간
d\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M) 외미분 초대칭 연산자의 하나
d^\dagger\colon\Omega^{k+1}(M)\to\Omega^k(M) 외미분의 수반(adjoint) 초대칭 연산자의 하나
\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d 라플라스-벨트라미 연산자 자유 입자의 해밀토니언
\Omega^k_0(\infty) 모스 지표가 k인 임계점들로 생성되는 벡터 공간 페르미온 수가 k섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간
d_\infty^k\colon\Omega^k_0(\infty)\to\Omega^{k+1}_0(\infty) 모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 순간자로 매개되는 터널 효과
H_\text{MW}^k=\ker d^k_\infty/\operatorname{im}d^{k-1}_\infty 모스-위튼 코호몰로지 군 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

역사와 어원[편집]

마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리[8]제임스 클러크 맥스웰[9] 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

마스턴 모스변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.[10] 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론보트 주기성(Bott periodicity)을 증명하였다.[11][12][13]

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse–Witten theory)이라고 한다.[7]

각주[편집]

  1. Matsumoto, Yukio (2002). 《An Introduction to Morse Theory》 (영어). Iwanami Series in Modern Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1022-4. MR 1873233. 
  2. Nicolaescu, Liviu (2011). 《An Invitation to Morse Theory》 (영어). Universitext 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-1105-5. ISBN 978-1-4614-1104-8. ISSN 0172-5939. MR 2883440. 
  3. Bott, Raoul (1982년 9월). “Lectures on Morse theory, old and new” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society (new series)》 7 (2): 331–358. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15038-8. ISSN 0273-0979. MR 663786. 
  4. Bott, Raoul (1988). “Morse theory indomitable” (영어). 《Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques》 68 (1): 99–114. doi:10.1007/BF02698544. ISSN 0073-8301. MR 1001450. 
  5. Shub, Michael (2007). “Morse–Smale systems” (영어). 《Scholarpedia》 2 (3): 1785. doi:10.4249/scholarpedia.1785. ISSN 1941-6016. 
  6. Henniart, Guy (1985). “Les inégalités de Morse (d’après E. Witten)” (프랑스어). 《Astérisque》. 121–122: 43–61. MR 768953. Zbl 0565.58033. 
  7. Witten, Edward (1982). “Supersymmetry and Morse theory” (영어). 《Journal of Differential Geometry》 17 (4): 661–692. MR 683171. Zbl 0499.53056. 
  8. Cayley, Arthur (1859). “On Contour and Slope Lines” (영어). 《Philosophical Magazine (series 4)》 18 (120): 264-268. doi:10.1080/14786445908642760. 
  9. Maxwell, James Clerk (1870). “On hills and dales” (영어). 《Philosophical Magazine (series 4)》 40 (269): 421–427. doi:10.1080/14786447008640422. 
  10. Morse, Marston (1934). 《The Calculus of Variations in the Large》 (영어). American Mathematical Society Colloquium Publication 18. New York: American Mathematical Society. JFM 60.0450.01. 
  11. Bott, Raoul (1956). “An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 84: 251–281. ISSN 0037-9484. MR 0087035. 
  12. Bott, Raoul (1957). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 43: 933–935. ISSN 0027-8424. JSTOR 89403. MR 0102802. 
  13. Bott, Raoul (1959). “The stable homotopy of the classical groups”. 《Annals of Mathematics (second series)》 70: 313–337. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970106. MR 0110104. 

참고 문헌[편집]