프레셰 공간

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함수해석학에서, 프레셰 공간(Fréchet空間, 영어: Fréchet space)은 일련의 반노름들로 위상을 정의할 수 있는 위상 벡터공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다. 모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

정의[편집]

위상벡터공간 X에 대하여, 다음 두 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상벡터공간을 프레셰 공간이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

성질[편집]

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상정리, 균등 유계성 정리 등이 성립한다.

[편집]

  • 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이다.
  • 벡터공간 \mathcal C^\infty([0,1])은 다음과 같은 반노름들로 프레셰 공간을 이룬다.
\|f\|_k = \sup\{|f^{(k)}(x)|\colon x \in [0,1]\}\qquad(k=0,1,2,\dots)
  • 이와 유사하게, m번 연속미분가능한 실함수들의 벡터공간 \mathcal C^m(\mathbb R)은 다음과 같이 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
 \|f\|_{k, n} = \sup \{ |f^{(k)}(x)|\colon x \in [-n, n] \}\qquad(k=0,1,\dots,m;\quad n=0,1,2,\dots)
이 경우 m=\infty (매끈한 함수들의 공간)도 가능하다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Rudin, Walter (1991년). 《Functional Analysis》. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5
  • (영어) Treves, François (1967년). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》. Boston: Academic Press

바깥 고리[편집]