포흐하머 기호

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수학에서, 포흐하머 기호(영어: Pochhammer symbol)는 연속의 정수들의 곱을 나타내는 기호 (x)_n 또는 x^{(n)}이다.

정의[편집]

포흐하머 기호는 두 종류가 있다. 하나는 하강 계승(영어: falling factorial)

(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}

이고, 다른 하나는 상승 계승(영어: rising factorial)

x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}

이다. 정의에 따라 (x)_0=x^{(0)}=1이다.

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 조합론에서는 하강 계승을 (x)_n, 상승 계승을 x^{(n)}으로 표기하지만, 초기하함수론에서는 (x)_n이 상승 계승을 나타내고, 하강 계승은 쓰이지 않는다. 도널드 크누스는 상승 계승을

x^{\overline n}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1),

하강 계승을

x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)

으로 표기한다.[1]

역사와 어원[편집]

프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려 (x)_n이항계수 \binom xn을 나타내는 데 사용하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Knuth, Donald. Two notes on notation. arXiv:math/9205211. Bibcode1992math......5211K.

바깥 고리[편집]