이항계수

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이항계수의 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.

조합론에서, 이항계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다.

정의[편집]

자연수 n 및 정수 k가 주어졌을 때, 이항계수 \textstyle\binom nk는 다음과 같다.

\binom nk=\begin{cases}
n!/\left(k!(n-k)!\right)&0\le k\le n\\
0&k>0\\
0&k<n
\end{cases}

이항계수를 \textstyle\binom nk 대신 {}_nC_kC(n, k)로 쓰기도 한다. n=2k인 경우의 이항계수를 중심이항계수라고 한다.

성질[편집]

항등식[편집]

이항계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.

\binom nk=\binom n{n-k}

다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 파스칼의 법칙(영어: Pascal’s rule)이라고 한다.

\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}

급수 공식[편집]

이항계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.

이항계수의 합

이 공식들은 생성 함수 (1+x)^n(의 도함수)의 x=1 값으로부터 유도할 수 있다.

\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n
\sum_{k=0}^nk\binom nk=n2^{n-1}

또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n-k}k =F(n+1)

여기서 F(n)n번째 피보나치 수이다.

이항계수의 곱의 합

다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(영어: Zhu–Vandermonde identity)이라고 한다.

 \sum_{j=0}^k\binom mj\binom n{k-j}=\binom{m+n}k

이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심이항계수로 주어진다.

 \sum_{k=0}^{n} \binom nk^2 =\binom{2n}n

이는 조합론적으로 증명할 수 있다. \textstyle\binom{2n}n은 크기가 2n 집합 속에서 n개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기 2n의 집합의 처음 절반에서 k개를 고르고, 나머지 절반에서 n-k개를 고르는 가짓수의 k에 대한 합 \textstyle\sum_{k=0}^n\binom nk\binom n{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom nk^2과 같다.

생성 함수[편집]

이항계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.

\sum_{k=0}^n\binom nkx^k=(1+x)^n
\sum_{n=k}^\infty\binom nkx^n = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}
\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom nkx^k y^n = \frac1{1-y-xy}
\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{(n+k)!}\binom{n+k}kx^k y^n =\exp(x+y)

근사[편집]

일반적으로, 모든 n\in\mathbb Nk\in\{1,\dots,n\}에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

(n/k)^k\le\binom nk\le n^k/k!\le(en/k)^k

n\gg1|1/2-k/n|\ll1에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

\binom nk\approx\frac{2^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}\exp(-(2k-n)^2/2n)

이에 따라, 이항분포정규분포로 근사할 수 있다. 특히, k=n/2일 경우

\binom n{n/2}\approx \frac{2^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}

이다.

만약 n\gg1이며 n\gg k라면, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

\binom nk\approx\frac{(n/k-1/2)^k\exp(k)}{\sqrt{2\pi k}}

수론적 성질[편집]

쿠머 정리(영어: Kummer’s theorem)에 따르면, 음이 아닌 정수 n\ge k소수 p에 대하여,

p^c \mid \binom nk

인 최대 c는 다음과 같다.

c=|\{b\in\mathbb Z^+\colon k/p^b-\lfloor k/p^b\rfloor>n/p^b-\lfloor n/p^b\rfloor\}|

즉, 이는 k+(n-k)p진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다.

뤼카의 정리는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.

중심이항계수 \textstyle\binom{2n}nn>4에 대하여 항상 22 이상의 제곱수를 약수로 갖지 않는다. 이를 에르되시 무제곱수 추측(영어: Erdős squarefree conjecture)라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고, [1] 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)과 올리비에 라마레(프랑스어: Olivier Ramaré)가 1996년에 증명하였다.[2]

임의의 양의 정수 d\in\mathbb Z^+에 대하여, 다음이 성립한다.

\lim_{N\to\infty}\frac{\left|\{n<N\colon d \mid\binom nk\}\right|}{N(N+1)/2}=1

\textstyle N(N+1)/2=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^n1n<N인 이항계수 \textstyle\binom nk의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터(영어: David Singmaster)가 1974년에 증명하였다.[3]

응용[편집]

조합론[편집]

조합론에서, 이항계수는 크기가 n유한 집합의 크기가 k인 부분집합의 수이다. 즉, n개의 원소의 k개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.

  • 카탈랑 수 \textstyle C_n=\binom{2n}n/(n+1)는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
  • 크기가 n인 집합에서, 크기가 k중복집합을 고를 수 있는 가짓수는 \textstyle\binom{n+k-1}k이다.
  • k개의 기호 \bulletn개의 기호 \circ를 포함하는 문자열의 수는 \textstyle\binom{n+k}k이다. 또한, \bullet\bullet을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 \textstyle\binom{n+1}k이다.

대수학[편집]

이항계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^n \binom nkx^k y^{n-k}

통계학[편집]

통계학에서, 이항계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Erdős, P., R. L. Graham (1980년). 《Old and new problems and results in combinatorial number theory》, L’Enseignement Mathématique 28. Geneva: Université de Genève. Zbl 0434.10001
  2. (영어) Granville, A., O. Ramare (1996년 6월). Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients. 《Mathematika》 43 (1): 73–107. doi:10.1112/S0025579300011608.
  3. (영어) Singmaster, David (1974년). Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. 《Journal of the London Mathematical Society》 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]