파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형의 처음 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.

파스칼의 삼각형은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.

단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

1. 먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.
2. 그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

수학적으로, 이 구조는 파스칼의 법칙을 사용하여 아래와 같이 표현한다. n 번째 줄의 k 번째 값을 $a_{nk}$라고 하면, 이 값은

$a_{n1} = 1$

$a_{nn} = 1$

$a_{nk} = a_{{n-1}{k-1}} + a_{{n-1}{k}}$ ($n, k>1$)

으로 정의된다. 이때,

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

라는 성질에 의해

$a_{nk} = {{n-1} \choose {k-1}}$

가 성립한다. 즉, n 번째 열의 k 번째 값은 ${n-1} \choose {k-1}$과 같은 값을 가진다.

파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 일컫는다. 피라미드, 사면체, 단체(單體)를 참조하라.

삼각형

파스칼의 삼각형의 최초 10단은 아래와 같이 된다.

다음은 15줄의 파스칼의 삼각형이다.

                                            1
                                         1     1
                                      1     2     1
                                   1     3     3     1
                                1     4     6     4     1
                             1     5     10    10    5     1
                          1     6     15    20    15    6     1
                       1     7     21    35    35    21    7     1
                    1     8     28    56    70    56    28    8     1
                 1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
              1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
           1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
        1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
     1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
   1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001  364   91    14    1
 1   15    105   455  1365  3003  5005  6435   6435  5005  3003  1365  455   105   15   1

1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 12870 11440 8008 4368 1820 560 16 1

파스칼의 삼각형의 응용

파스칼의 삼각형은 이항 전개에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어

$(x + 1)^2 = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1$

라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.

일반적으로,

$(x + y)^n = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y^1 + a_2 x^{n-2} y^2 + \cdots + a_n y^n$

와 같은 전개식에서, $a_i = {n \choose i}$ 가 성립한다. 즉, $a_i$는 파스칼의 삼각형의 (n+1) 번째 줄의 (i+1) 번째 값과 대응된다.