스털링 근사

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ln x! 과 x ln xx의 그래프. x가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 1로 수렴한다.
미적분학
v  d  e  h

수학에서, 스털링 근사(영어: Stirling’s approximation) 또는 스털링 공식(영어: Stirling’s formula)은 큰 계승을 구하는 근사법이다.

정의[편집]

매우 큰 n에 대하여, 다음과 같은 공식이 성립한다.

n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n
\ln n!\sim n(\ln n-1)+\frac12\ln(2\pi n)

이는 구체적으로 다음을 말한다.

\lim_{n\to\infty}\frac1{n!}\sqrt{2\pi n}(n/e)^n=1

구체적으로, 모든 양의 정수 n에 대하여 다음과 같은 상계하계가 존재한다.

\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}\exp(-n) \le n! \le e\ n^{n+1/2}\exp(-n)

스털링 급수[편집]

스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 스털링 급수(영어: Stirling series)를 정의할 수 있다.

n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac1{12n}+\frac1{288n^2} + \cdots \right)

이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A1163), (OEIS의 수열 A1164)

1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …

로그로 쓰면 다음과 같다.

\ln(n!)\sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)   +\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\cdots\cdots

이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A46968), (OEIS의 수열 A46969)

1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …

스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 점근 전개(asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 n에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 n에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.

역사[편집]

아브라앙 드 무아브르는 《해석학 잡론》(라틴어: Miscellanea Analytica, 1판 1730년, 2판 1733년)의 2판[1]에 추가된 부록에서 정규 분포를 다루기 위하여 계승

n!\sim Bn^{n+1/2} e^{-n}

과 같은 꼴로 근사하였고, 또 비례 상수 B

\ln B\approx1-1/12+1/360-1/1260+1/1680

로 근사하였다.[2] 이는

B^2/2\approx 3.1435\cdots

이다. 드 무아브르의 근사는 《확률론》(영어: The Doctrine of Chances, 1판 1718년, 2판 1738년, 3판 1756년) 제2판[3]에서도 등장한다.[4]

제임스 스털링은 상수 BB^2/2=\pi임을 보였다. 이후 자크 비네(프랑스어: Jacques Binet)가 스털링 근사의 추가항들을 도입하였다.

증명[편집]

개략적인 증명[편집]

먼저 \ln n!을 로그의 성질에 의해 전개하자.

\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln n = \sum^{n}_{k=1} \ln k

n이 크다면, 리만 합과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사할 수 있다.

\sum^{n}_{k=1} \ln k \approx \int^n_1 \ln x dx

이제 적분을 계산하면 다음과 같다.

\int^n_1 \ln x dx = \left[x \ln x - x \right]^n_1 = (n \ln n - n) - (1 \cdot 0 - 1) = n \ln n - n +1

을 얻고, n \gg 1이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.

\ln n! \approx n \ln n - n

더 엄밀한 증명[편집]

증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수를 사용하자. n이 자연수일 때, 다음이 성립한다.

n! = \Gamma (n+1) = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx

피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 n이 매우 클 경우, 중심 극한 정리에 의해 정규 분포로 근사할 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면

x^n e^{-x} = e^{n \ln x -x}

가 된다. 이제 y \,\equiv\, x - n 이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,


\begin{align}
n \ln x - x &= n \ln (n + y) -n -y\\
&= n \ln \left[ n \left( 1 + {y \over n} \right) \right] - n -y\\
&= n \ln n - n + n \ln \left( 1 + {y \over n} \right) -y
\end{align}

정규분포의 확률 밀도 함수의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개를 해서 2차항까지만 취하면 (최댓값 근처에서 y \ll n 이므로 가능 )

\ln \left( 1 + {y \over n} \right) \approx {y \over n} - {1 \over 2 } \left({y \over n} \right)^2

이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규 분포의 확률 밀도 함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.

x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n} e^{-y^2 \over 2n}

감마 분포를 정규 분포로 근사하였므로, y가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 y에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.

n! = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \int^\infty_{-\infty} e^{-y^2 \over 2n } dy = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}

응용[편집]

스털링 근사는 통계역학에서 흔히 등장하는 매우 큰 계승을 근사할 때 쓰인다. 거시적인 크기의 계에서는 입자 수는 보통 아보가드로 수(≈6×10^23)에 견줄 만하므로, 스털링 근사가 효과적이다.

참고 문헌[편집]

  1. de Moivre, Abraham (1733년). 《Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variæ considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quæ in motibus corporum cœlestium occurrunt》 (라틴어) 2판. 런던: J. Tonson and J. Watts. 
  2. Pearson, Karl (1924년 12월). “Historical note on the origin of the normal curve of errors” (영어). 《Biometrika》 16: 402–404. doi:10.2307/2331714. JSTOR 2331714. 
  3. de Moivre, Abraham (1738년). 《The Doctrine of Chances: or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play》 (영어) 2판. 런던: H. Woodfall. 
  4. Le Cam, L. (1986년). “The central limit theorem around 1935” (영어). 《Statistical Science》 1 (1): 78–96 [p. 81]. doi:10.1214/ss/1177013818. ISSN 0883-4237. The result, obtained using a formula originally proved by de Moivre but now called Sterling's formula, occurs in his ‘Doctrine of Chances’ of 1733. 
  • Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm
  • Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3

바깥 고리[편집]