스털링 근사

스털링 근사(Stirling's Approximation) 또는 스털링 공식(Stirling's Formula)은 큰 계승을 구하는 근사법으로 영국의 수학자 제임스 스털링의 이름에서 유래되었다.

이 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}.$

가장 간단한 스털링 근사

ln x! 과 x ln x − x의 그래프. x가 커질수록 두 함수의 비가 빠르게 1로 수렴한다.

가장 간단한 스털링 근사는 보통 열역학에서 아보가드로 수(≈6×10^²³)만큼의 입자를 배치할 때의 경우의 수를 구할 때 자주 쓰인다. 이에 따르면 매우 큰 $n$에 대해서는 $n!$을 다음과 같이 근사시킬 수 있다.

$\begin{align} \ln n! &\approx n \ln n - n \\ n! &\approx n^n e^{-n} \end{align}$

개략적인 증명

먼저 $\ln \, n!$ 을 로그의 성질에 의해 전개하자.

$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots \ln n = \sum^{n}_{k=1} \ln k$

$n$이 크다면, 리만 합과 유사한 논리에 의해 합을 적분으로 근사 시킬 수 있다.

$\sum^{n}_{k=1} \ln k \approx \int^n_1 \ln x dx$

이제 적분을 계산하면,

$\int^n_1 \ln x dx = \left[x \ln x - x \right]^n_1 = (n \ln n - n) - (1 \cdot 0 - 1) = n \ln n - n +1$

을 얻고, $n \gg 1$이므로 맨 끝의 1을 떼어버리면 가장 간단한 형태의 스털링 근사를 얻는다.

$\ln n! \approx n \ln n - n$

스털링 근사

조금 더 정확한 형태의 스털링 근사는 다음과 같다.

$n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$

증명

증명을 하기 위해, 계승의 좀 더 일반적인 표현인 감마 함수를 사용하자. $n$이 자연수일 때, 다음이 성립한다.

$n! = \Gamma (n+1) = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx$

피적분 함수의 형태를 보면, 감마분포를 따르고 있음을 알 수 있는데, 감마 분포의 경우 $n$이 매우 클 경우, 중심 극한 정리에 의해 정규분포로 근사 시킬 수 있다. 따라서, 위를 정규 분포의 형태로 근사시켜 보자. 먼저 피적분 함수의 형태를 조금 바꾸면

$x^n e^{-x} = e^{n \ln x -x}$

가 된다. 이제 $y \,\equiv\, x - n$ 이라 하고 계속 식을 전개해 나가면,

$\begin{align} n \ln x - x &= n \ln (n + y) -n -y\\ &= n \ln \left[ n \left( 1 + {y \over n} \right) \right] - n -y\\ &= n \ln n - n + n \ln \left( 1 + {y \over n} \right) -y \end{align}$

정규분포의 확률밀도함수의 형태를 얻기 위해 로그를 테일러 전개를 해서 2차항까지만 취하면 (최대값 근처에서 $y \ll n$ 이므로 가능 )

$\ln \left( 1 + {y \over n} \right) \approx {y \over n} - {1 \over 2 } \left({y \over n} \right)^2$

이 되고 이를 다시 원래 피적분 함수에 대입하면, 정규분포의 확률밀도함수와 유사한 형태의 함수를 얻는다.

$x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n} e^{-y^2 \over 2n}$

감마분포를 정규분포로 근사시켰으므로, $y$가 음수인 영역은 거의 0에 가깝다. 따라서 전 $y$에 대해서 모두 적분하면, 아래의 스털링 근사를 얻는다.

$n! = \int^\infty_0 x^n e^{-x} dx \approx n^n e^{-n} \int^\infty_{-\infty} e^{-y^2 \over 2n } dy = n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}$

더 정확한 스털링 근사

자주 쓰이지는 않지만, 더 정확한 형태의 스털링 근사는 다음과 같다.

$n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n } \left( 1 + {1 \over 12n} \right)$

완전히 수렴하는 급수를 원한다면 스털링 급수를 참조할 것.

참고문헌

• Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm
• Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3
• Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function. http://www.rskey.org/gamma.htm, modified 2006
• Elic W. Weisstein, Stirling's Approximation at MathWorld
• Stirling's approximation at PlanetMath