세타 함수

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수학에서 세타 함수(영어: theta function)는 타원 곡선 또는 아벨 다양체 위의 선다발의 단면이다.

정의[편집]

복소 아벨 다양체 E 위의 세타 함수 \thetaE 위의 어떤 해석적 선다발의 단면이다. 즉, 국소 좌표계 E\cong\mathbb C^g/\Lambda를 준다면, 세타 함수 \theta\colon\mathbb C^g\to\mathbb C는 다음과 같은 꼴의 함수 방정식(영어: functional equation)을 만족시키는 정칙함수이다.

f(z+\lambda)=\alpha(\lambda)f(z)

여기서 \alpha\colon\Lambda\to\mathbb C^\times는 덧셈에 대한 자유 아벨 군 \Lambda에서 곱셈군 \mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}으로 가는 군 준동형사상이다.

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야코비 세타 함수[편집]

야코비 세타 함수(카를 구스타프 야코프 야코비의 이름에서 비롯됨)는 z와 τ를 변수로 갖는 2변수 복소함수로, z는 임의의 복소수가 될 수 있지만 τ는 상반평면으로 제한되어 언제나 양의 허수부를 갖는다. 그 정의는 다음과 같다.

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z}= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\eta^n

여기서

q=\exp(2\pi i\tau)
\eta=\exp(2\pi iz)

이다.

또한, 보통 다음과 같은 함수들을 정의한다.


\begin{align}
\vartheta_{00}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}\eta^n = \vartheta(z;\tau)\\
\vartheta_{01}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}(-\eta)^n = \vartheta(z+{\textstyle\frac{1}{2}};\tau)\\
\vartheta_{10}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}\eta^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z +1/2\tau;\tau)\\
\vartheta_{11}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}(-\eta)^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i(z+1/2))\vartheta(z+\tau/2 + 1/2;\tau)
\end{align}

이를 다음과 같이 표기하기도 한다.


\begin{align}
\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\
\theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\
\theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\
\theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau)
\end{align}

야코비 세타 함수는 책마다 조금씩 다르게 정의하는 경우가 많으므로 주의하여야 한다.

성질[편집]

야코비 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 (a,b)\in\mathbb Z^2에 대하여,

\vartheta(z+a+b\tau;\tau)=\exp(-\pi ib^2\tau-2\pi ibz)\vartheta(z;\tau)

즉, 야코비 세타 함수는 \mathbb C/\langle1,\tau\rangle 위에서, z\sim z+\tau 방향으로 뒤틀어져 있는 해석적 선다발의 단면이다.

리만 세타 함수[편집]

지겔 상반평면

\mathbb{H}_g=\{F\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{C})\colon F=F^\top,\;\mbox{Im} F\text{ is positive-definite}\}

이 주어졌다고 하자. 리만 세타 함수(영어: Riemann theta function)

\vartheta\colon\mathbb C^g\times\mathbb H_g\to\mathbb C
\vartheta\colon(z,\tau)\mapsto\vartheta(z,\tau)

는 다음과 같다.

\vartheta(z,\tau)=\sum_{m\in\mathbb Z^g}\exp\left(2\pi i\left(\frac12m^\top\tau m+m^\top z\right)\right)

이 급수는 \mathbb C^g\times\mathbb H_g의 임의의 콤팩트 부분공간에서 균등수렴한다.

리만 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 (a,b)\in\mathbb Z^g\times\mathbb Z^g에 대하여,

\vartheta(z+a+\tau b,\tau)=\exp\left(-2\pi i\left(b^\top\tau b/2+b^\top z\right)\right)\theta(z,\tau)

일반적인 격자의 세타 함수[편집]

양의 정부호 내적이 주어진 격자 (\Lambda,\langle\cdot,\cdot\rangle)가 주어졌다면, 이에 대응하는 세타 열(영어: theta series)

\Theta_\Lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C

를 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]:44–47

\Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}\exp(i\pi\tau\langle x,x\rangle)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\langle x,x\rangle/2}
q=\exp(2\pi i\tau)

이는 상반평면 \mathbb H 위의 정칙함수이다. 만약 \Lambdan차원 짝 유니모듈러 격자라면, 이는 무게가 n/2모듈러 형식을 이룬다. 홀 유니모듈러 격자의 세타 함수는 다음과 같은 모듈러 항등식들을 만족시킨다.[1]:186–187

\Theta_\Lambda(\tau)=\Theta_\Lambda(\tau+2)=(i/\tau)^{n/2}\Theta_\Lambda(-1/\tau)

따라서 이는 합동 부분군 Γ0(4)에 대한 무게 n/2의 모듈러 형식이다.[2]

예를 들어, 격자 \mathbb Z에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.[1]:45

\Theta_{\mathbb Z}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^2/2}=\vartheta_{00}(0;\tau)

마찬가지로, 격자 \mathbb Z+1/2에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.

\Theta_{\mathbb Z+1/2}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{(n^2+n+1/4)/2}=\vartheta_{10}(0;\tau)

응용[편집]

야코비 세타 함수는 아벨 다양체모듈러스 공간2차 형식의 연구에 중요하게 쓰이며, 솔리톤 이론에도 응용되었다. 그라스만 대수에 대해 일반화할 경우 양자장론, 특히 끈 이론D-막 등에도 연관된다. 세타 함수의 대표적인 예는 타원함수론에 나타난다.

세타 함수는 기하학적 양자화에 등장한다. 위상 공간켈러 다양체해밀턴 계를 양자화할 경우, 양자역학적 상태들은 어떤 해석적 다발의 해석적 단면들의 힐베르트 공간의 원소가 된다. 특히, 위상 공간이 극성화가 주어진 아벨 다양체인 경우, 상태들은 세타 함수가 된다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Conway, J.H., N. J. A. Sloane. 《Sphere packings, lattices and groups》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290, ISSN 0072-7830, 3판, New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. Zbl 0915.52003. ISBN 0-387-98585-9
  2. Bachoc, Christine, Gabriele Nebe, Boris Venkov. Odd unimodular lattices of minimum 4. 《Acta Arithmetica》. doi:10.4064/aa101-2-6.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]