사차 방정식

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4차함수의 그래프

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0$

와 같다. 여기에서 $a, b, c, d$ 는 각각 $x 4, x 3, x 2, x$ 의 계수라고 한다. $e$ 는 상수항이라고 부른다.

[편집] 역사

[편집] 페라리의 해법

a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0

이 방정식에서 양변을 $x$ 의 최고차항인 $a$ 로 나눈 다음 $x=y-\frac b {4a}$ 라고 두면 $y 4 + p y 2 + q y + r = 0$ 꼴로 정리할 수 있다.

$y 4 + 2 p y 2 + p 2 = p y 2 - q y - r + p 2$ 에서 $p y + p 2$ 를 더하면

(y 2 + p) 2 = p y 2 - q y + p 2 - r

.

그러므로 임의의 $z$ 에 대해서

$\begin{align} ( y^2 + p + z )^2 &= py^2 -qy + p^2 -r + 2z ( y^2 + p ) + z^2 \\ &= ( p + 2z ) y^2 -qy + ( p^2 -r +2pz + z^2 ) \end{align}$

이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 $z$ 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다:

$\begin{align} 4 ( p + 2z ) ( p^2 - r + 2pz + z^2 ) -q^2 &= 0 \\ 8z^3 +(16p+4)z^2 +(16p^2 -8r)z+(4p^3 -4pr-q^2) &=0 \end{align}$

이 하나를 $z 1$ 로 하면

$\begin{align} ( y^2 + p + z_1 )^2 &= (p + 2 {z_1}) y^2 - qy + ( p^2 -r + 2p z_1 + {z_1}^2 ) \\ &=( p + 2z_1 ) \left[ \frac {y - q} {2 ( p + 2 z_1 )} \right] ^2 \end{align}$

가 되므로 2차방정식의 근의 공식을 이용해 4차방정식을 풀 수 있다.

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