일차 방정식

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일차 방정식 그래프의 예시

일차 방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

일차 방정식은 변수가 한 개 이상일 수도 있다. 일차식은 수학 전반에 걸쳐 다양한 방법과 형태로 등장한다. 선형 방정식은 일반적으로 풀기 쉽다. 자연을 모델링하는 많은 비선형 방정식(non-linear equations)은 풀기 어려우므로 이를 근사하기 위해 선형 방정식을 이용하는 경우가 많다.

변수가 두 개인 일차 방정식[편집]

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

y = ax + b

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 xy, x^2, y^{1/3}, \sin(x)와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

좌표평면 위에 그리기[편집]

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

A=100,000+0.2(300,000+0.2A)

y 절편과 기울기가 주어진 경우[편집]

기울기(gradient) a과 y 절편(y-intercept) b가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y = ax + b

한 점과 기울기가 주어진 경우[편집]

기울기(gradient) a과 한 점 (x_1 , y_1 )이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

y - y_1 = a(x - x_1 )

두 점이 주어진 경우[편집]

서로 다른 두 점 (x_1 , y_1 ), (x_2 , y_2 )이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

(x_2 - x_1 )(y - y_1 ) = (y_2 - y_1 )(x - x_1 )

이 때, x_2 \ne x_1이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 )

두 절편이 주어진 경우[편집]

x 절편 a와 y 절편 b가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

여기서 ab는 모두 0이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 A = 1/a, B = 1/b, C = 1을 대입한 형태와 같다.

매개변수 형태[편집]

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

x = T t + U, \; y = V t + W

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 T, U, V, W는 모두 고정된 상수값이고, t의 값이 변하면서 그에 상응하는 x, y값이 변화한다. 이 경우 기울기는 \frac{V}{T}가 되고, x 절편은 \frac{V U - W T}{V}, y 절편은 \frac{W T - V U}{T}가 된다.

극좌표 형태[편집]

직교 좌표극좌표는 모두 평면위의 점을 표현하는 방법이다. 따라서 직선을 극좌표형식(Polar Form)으로 표현할 수도 있다.

r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta}

이때 m은 기울기가 되고 b는 y 절편이 된다. \theta0이 되면 안 된다.

두 개 이상의 변수를 가진 일차 방정식[편집]

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. 일반적으로 n개의 변수를 가지고 있다면 다음과 같이 표현된다.

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.

여기서 a_1, .... a_n은 상수이고 x_1, .... x_n은 변수가 된다. 이러한 방정식은 n 차원 유클리드 공간에서 n - 1 차원 초평면(hyperplane)을 이루게 된다.

같이 보기[편집]