일차 방정식

일차 방정식 그래프의 예시

일차 방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

일차 방정식은 변수가 한 개 이상일 수도 있다. 일차식은 수학 전반에 걸쳐 다양한 방법과 형태로 등장한다. 선형 방정식은 일반적으로 풀기 쉽다. 자연을 모델링하는 많은 비선형 방정식(non-linear equations)은 풀기 어려우므로 이를 근사하기 위해 선형 방정식을 이용하는 경우가 많다.

[편집] 변수가 두 개인 일차 방정식

일차 방정식은 일차 함수와 밀접한 연관이 있다. 두 개의 변수를 가진 일차 방정식은 실질적으로 일차 함수가 된다. 또한 이것은 좌표평면에서 직선이 되므로 직선의 기하학적 성질과 연관이 있으므로 직선의 방정식이라고도 부른다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.

$y = mx + b$

동류항 정리를 한 이후에는 각 변수들은 다른 변수들과의 곱으로 나타내면 안되고, 각 변수도 1 이외의 다른 지수를 가져서는 안 된다. 예를 들어 $xy, x^2, y^{1/3}, \sin(x)$ 와 같은 항들이 있어서는 안 되며, 이러한 항들은 비선형항이 된다.

[편집] 좌표평면 위에 그리기

좌표평면은 기하학적 정보와 대수적 정보 사이의 변환을 제공해주는 도구이므로, 직선을 결정짓는 기하학적인 정보를 활용하여 직선을 표현하는 방정식을 만드는 다양한 방법이 중학 교과과정에 잘 나와있다.

[편집] 일반적 형태

직선의 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

$Ax + By + C = 0$

여기서 $A$ 와 $B$ 는 동시에 0이 되면 안 된다.

[편집] y 절편과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradient) $m$ 과 y 절편(y-intercept) $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$y = mx + b$

[편집] 한 점과 기울기가 주어진 경우

기울기(gradient) $m$ 과 한 점 $(x_1 , y_1 )$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$y - y_1 = m(x - x_1 )$

[편집] 두 점이 주어진 경우

서로 다른 두 점 $(x_1 , y_1 ), (x_2 , y_2 )$ 이 주어진 경우 직선의 방정식은 다음과 같이 결정된다.

$(x_2 - x_1 )(y - y_1 ) = (y_2 - y_1 )(x - x_1 )$

이 때, $x_2 \ne x_1$ 이라면 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1 )$

[편집] 두 절편이 주어진 경우

x 절편 $a$ 와 y 절편 $b$ 가 주어진 경우 직선의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 모두 영이 아니어야 한다. 이 경우는 일반적인 직선의 방정식 형태에서 $A = 1/a, B = 1/b, C = 1$ 을 대입한 형태와 같다.

[편집] 매개변수 형태

직선위의 모든 점은 모든 실수 값에 대응된다. 그러므로 실수범위에서 변하는 하나의 변수로서 직선을 표현하는 것이 가능하다.

$x = T t + U, \; y = V t + W$

위와 같이 연립 방정식을 이용하여 매개변수 형태(Parametric form)로 표현할 수도 있다. 물론 $T, U, V, W$ 는 모두 고정된 상수값이고, $t$ 의 값이 변하면서 그에 상응하는 $x, y$ 값이 변화한다. 이 경우 기울기는 $\frac{V}{T}$ 가 되고, x 절편은 $\frac{V U - W T}{V}$ , y 절편은 $\frac{W T - V U}{T}$ 가 된다.