허수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

허수(虛數, imaginary number)는 실수가 아닌 복소수를 뜻한다. 즉 모든 허수는 다음과 같이 나타내어질 수 있다.

a+bi (단, a, b는 실수이며 b \ne 0)

여기서 i는 허수 단위이며, 이때 a를 실수부, b를 허수부라 한다. b가 0일 경우 위의 수는 실수가 되며, 실수와 허수를 모두 포함하는 수 체계가 복소수이다.[1]

목차

[편집] 역사

고대 그리스의 수학자 헤론거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 이후 르네 데카르트가 《방법서설》의 부록 〈기하〉(프랑스어: La Géométrie)에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. [2] 허수라는 이름은 오일러가우스에 의해 널리 알려졌으며, 오일러는 허수 단위 기호로 i 를 도입하였다. 1799년 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.[3]

1843년 윌리엄 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.[4]

미국 수학에서 허수란 i\mathbb{R} 형태, 즉 순허수이다. 즉 실수허수단위 i=\sqrt{-1}가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수가 된다.

[편집] 기하학적 해석

복소평면에서 복소수의 위치

한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 x + y i 로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 극좌표를 사용하여 원점에서 부터 점 Z 사이의 반지름각도로서도 나타낼 수 있다. 즉,

Z(x,y) = x + yi = r \theta

가 된다.[5]

한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 Z = x +yi \overline{Z} = x - yi 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.[6]

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠자연로그가 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

 \ln(\cos x + i\sin x)=ix \

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.

e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

이를 오일러의 공식이라 한다.[7]

[편집] 수 체계

수 체계에서 허수는 복소수와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 이를 복소수체라고 하며 \mathbf{C} 로 나타낸다.[8]

[편집] 함께 보기

[편집] 주석

  1. 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 13-14쪽
  2. Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691123098, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
  3. Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4., Chapter 10, page 382
  4. Hamilton. Hodges and Smith. 1853. p. 60.
  5. 구기준 외, 알기 쉬운 공업 수학, 기문사, 1998년, ISBN 8977231124, 36-37쪽
  6. 구기준 외, 알기 쉬운 공업 수학, 기문사, 1998년, ISBN 8977231124, 36쪽
  7. 김원기, 꿈꾸는 과학, 풀로엮은집, 2008년, ISBN 89-90431-96-4, 206쪽
  8. 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 14쪽