복소켤레

복소켤레 또는 복소공액(complex conjugate)은 복소수 연산 중 하나로 $a + bi$꼴의 복소수에서 허수부의 부호를 바꾼 것이다.

복소평면에서의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$

복소수 $z = a + bi$ (여기서 $a,b$는 실수, $i$는 허수단위)의 복소켤레는 보통 변수위에 선을 긋거나 별모양 윗첨자를 넣어서 나타내며 ($\bar{z}$ 또는 $z^*$) 다음과 같이 정의된다.

$\bar{z} = a - bi$

여기서 $\bar{z}$가 의미하는 수를 켤레복소수 또는 공액복소수(complex conjugate number)라 한다.

단, 복소수가 아니라 복소수로 구성된 행렬 등을 다룰때엔 두 기호의 의미가 다르게 사용된다.

극형태(polar form), 즉 $z = re^{i\varphi}$ (여기서 $r,\varphi$는 실수, $i$는 허수단위)로 나타낸 복소수의 경우엔 다음과 같이 간단하게 켤레복소수가 정의된다.

$z^* = re^{-i\varphi}$.

복소켤레 연산의 성질

복소켤레 연산에는 다음과 같은 성질이 있다. 임의의 복소수 $z,w$에 대해

• $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$
• $\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}$
• $\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$
• $\bar{\bar{z}}=z$
• $\bar{z}=z$ ($z$가 실수일 때)
• $|z|=|\bar{z}|$
• $|z|^2 = z\cdot\bar{z}$
• $z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}$ ($z$가 0이 아닐 경우).

이다. 이 성질들은 켤레복소수의 정의를 이용하면 간단히 증명할 수 있다.

함수의 복소켤레

복소수를 정의역으로 같는 몇몇 특수함수에 대해 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

• $\left( e^{z} \right)^* = e^{z^*}$
• $\left( \sin {z} \right)^* = \sin z^*$
• $\left( \cos {z} \right)^* = \cos z^*$
• $\left( \sinh {z} \right)^* = \sinh z^*$
• $\left( \cosh {z} \right)^* = \cosh z^*$
• $\left( \ln {z} \right)^* = \ln z^*$

일반적으로, 정칙함수 $\varphi(z)$에 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$\varphi(z) ^* = \varphi(z^*) \;$

행렬에서 두 표기법의 차이

켤레전치 문서를 참고하십시오.

행렬에서 $\bar{z}$와 $z^*$의 차이는 다음과 같다. 행렬 $A$의 $m$번째 행, $n$번째 열의 성분을 $A_{mn}$라 나타내고 그 복소수를 실수부와 허수부로 나누어 $a_{mn}+ib_{mn}$라 쓰면, 각 표기법의 정의는 다음과 같다.

• $(\overline{A})_{mn} = a_{mn} - ib_{mn} = \overline{(A_{mn})}$
• $(A^*)_{mn} = (\overline{A})_{nm}$

같이 보기

• 복소켤레근 정리