갈루아 군

수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의[편집]

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 $L$ 의 자기 동형 $f\colon L\to L$ 가운데 $f(k)=k\forall k\in K$ 인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 $L/K$ 의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (L/K)$ 라고 한다.

만약 $L/K$ 가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 이라고 한다.

체 $K$ 의 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname {sep} }$ 의 자기 동형군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)$ 을 절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group) $\operatorname {Gal} K$ 이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 $\operatorname {Spec} K$ 의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

\operatorname {Gal} K\cong \pi _{1}^{\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K)

$K^{\operatorname {sep} }/K$ 는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

갈루아 군의 위상[편집]

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 $L/K$ 에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 $\operatorname {Sub} (L/K)$ 및 갈루아 부분 확대들의 격자

\operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)\subset \operatorname {Sub} (L/K)

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

\operatorname {Gal} (L/K)=\varprojlim _{M\in \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)}^{[M:K]<\aleph _{0}}\operatorname {Gal} (M/K)

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다.

성질[편집]

갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론	군론
$K^{\operatorname {sep} }/K$ 의 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K$
$K^{\operatorname {sep} }/K$ 의 유한 부분 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K$
유한 확대 $L/K$ 에서, $K$ 를 고정시키는 매장 $L\hookrightarrow K^{\operatorname {sep} }$	$\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K$ 의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 $L/K$	절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\vartriangleleft \operatorname {Gal} K$
$K^{\operatorname {sep} }/K$ 의 부분 확대 $L/K$ 의 켤레 확대(영어: conjugate extension) $\sigma (L)/K$	$\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)$ 의 켤레 부분군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/\sigma (L))=\sigma \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\sigma ^{-1}$

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

갈루아 코호몰로지[편집]

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 $K$ 의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} K$ 의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (L/K)$ 는 정의에 따라 $L$ 위에 자연스럽게 작용하며, $(L,+)$ 은 군환 $\mathbb {Z} [\operatorname {Aut} (L/K)]$ 위의 가군을 이룬다.

(n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=n_{1}g_{1}(a)+n_{2}g_{2}(a)+\cdots +n_{k}g_{k}(a)\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Aut} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z}

가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대 $L/K$ 에 대하여, $L$ 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

\operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (L/K);L)={\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}}

(이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, 자기 동형군 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 는 가역원군 $L^{\times }$ 위에 자연스럽게 작용하며, $L^{\times }$ 는 군환 $\mathbb {Z} [\operatorname {Gal} (L/K)]$ 위의 가군을 이룬다.

(n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=(g_{1}(a))^{n_{1}}(g_{2}(a))^{n_{1}}\cdots (g_{k}(a))^{n_{k}}\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Gal} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z}

승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대 $L/K$ 의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (L/K)$ 가 유한군이라면, $L^{\times }$ 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K);L^{\times })=0

(이 경우 $L/K$ 가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

예[편집]

임의의 체 $K$ 에 대하여, $\operatorname {Gal} (K/K)$ 는 자명군이다.
$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ 은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 $a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}$ 이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

절대 갈루아 군의 예[편집]

대수적으로 닫힌 체 $K$ 의 절대 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (K/K)$ 은 자명군이다.
실수체의 절대 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ 는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 $z\mapsto {\bar {z}}$ 이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
유리수체의 절대 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ 는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.