가해군

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군론에서, 가해군(可解群, 영어: solvable group)은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

역사[편집]

가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.

정의[편집]

어떤 G가 다음과 같은 꼴의 정규부분군

1=G_0\triangleleft G_1\triangleleft\cdots\triangleleft G_k=G

을 가지고, 또한 모든 G_{i+1}/G_i아벨 군이라면 G가해군이라고 한다.

어떤 G가 다음과 같은 꼴의 정규부분군

1=G_0\triangleleft G_1\triangleleft\cdots\triangleleft G_k=G

을 가지고, 또한

G_i\triangleleft G

이며 모든 G_{i+1}/G_i순환군이라면 G초가해군(超可解群, 영어: supersolvable group)이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.

[편집]

모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다.

가해 유한군[편집]

가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 A_5이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A056866)

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …

초가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 12인) 교대군 A_4이다. 초가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A066085)

12, 24, 36, 48, 56, 60, 72, 75, 80, 84, 96, 108, 112, 120, 132, …

주어진 크기의 초가해군의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A066083)

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 14, …

즉, 예를 들어 크기가 4인 초가해군은 두 개(4차 순환군클라인 4원군)가 있다.

파이트-톰프슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.

번사이드 정리에 따르면, 크기가

p^aq^b

의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 p,q소수이고, a,b는 음이 아닌 정수다.

가해 리 군[편집]

리 대수가해 리 대수연결 리 군은 가해군을 이룬다. 예를 들어, 실수 또는 복소수 상삼각행렬들의 리 군은 가해 리 군이다.

모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 유클리드 공간미분동형이다.

성질[편집]

  • 정규부분군 N\triangleleft G를 가지는 군 G가 가해군일 조건은 N몫군 G/N 둘 다 가해군일 조건과 동치이다.
  • 가해군의 부분군은 가해군이다.
  • 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.)
  • 두 가환군의 화환군(wreath product)은 가해군이다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]